Nội dung ôn tập Toán Lớp 11 - Chủ đề: Giới hạn của hàm số+ Hàm số liên tục

Trường THPT An Khánh Tổ Tốn Trang 1 
TRƯỜNG THPT AN KHÁNH 
TỔ TỐN 
NỘI DUNG ƠN TẬP TẠI NHÀ 
TỪ NGÀY 06/4 ĐẾN 11/4/2020 
Ninh Kiều, ngày 05 tháng 3 năm 2020 
CHỦ ĐỀ: 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ + HÀM SỐ LIÊN TỤC 
A. LÍ THUYẾT 
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
1
lim 0
n n 
 ; 
1
lim 0 ( )
kn
k
n
 lim 0 ( 1)n
n
q q
 ; lim
n
C C
2. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 
 S = u1 + u1q + u1q
2 +  = 1
1
u
q 
 1q 
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim n 
 lim ( )kn k 
 lim ( 1)nq q 
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
0
0lim
x x
x x
 ; 
0
lim
x x
c c
 (c: hằng số) 
Giới hạn đặc biệt: 
 lim k
x
x
 ; 
 lim k
x
nếu k chẵn
x
nếu k lẻ 
 lim
x
c c
 ; 
 lim 0
kx
c
x 
0
1
lim
x x 
 ; 
0
1
lim
x x 
 III. HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Hàm số liên tục tại một điểm:y = f(x) liên tục tại x0 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: 
 B1: Tính f(x0). 
 B2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x
 (trong nhiều trường hợp ta cần tính 
0
lim ( )
x x
f x
, 
0
lim ( )
x x
f x
) 
 B3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x
 với f(x0) và rút ra kết luận. 
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ. 
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và 
Trường THPT An Khánh Tổ Tốn Trang 2 
 lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
II. TRẮC NGHIỆM 
Tính các giới hạn sau: 
a) 2 1lim 1 .
2x
x x x
 b) 2lim 1 .
x
x x x
3
1
) lim
2 3 3x
c
x 
 d) 
3
1
) lim .
2 3 3x
c
x 
e) 
2
32
2 5 2 1
lim .
8 4x
x x
x 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 1. 
2
1 3
lim
2 3x
x
x 
 bằng 
A. 
3 2
2
 . B. 
2
2
 . C. 
3 2
2
. D. 
2
2
. 
Câu 2. 
1
3 2
lim
1x
x
x 
 bằng 
A. 1 . B. 
2
3
. C. 
1
4
. D. 
5
4
. 
Câu 3.
2 24 1
lim
2 3x
x x x
x 
 bằng 
A. 
1
2
 . B. . C. . D. 
1
2
. 
Câu 4.
2
lim
2 3
n
n 
 bằng 
A. 2 . B. 0 . C. . D. 4 . 
Câu 5. 
2
2
2
lim
2x
x
I
x 
 bằng 
A. 2 . B. 
1
2 2
. C. 1. D. 2 . 
Câu 6.
2 1
lim
1
n
n
 bằng 
Trường THPT An Khánh Tổ Tốn Trang 3 
A. 2 . B. 0 . C. 
1
2
. D. 1. 
Câu 7. Giới hạn cĩ kết quả bằng 
1
2
là 
A. 2lim 1
2x
x
x x
 . B. 2lim 1
x
x x x
 . 
C. 2lim 1
2x
x
x x
 . D. 2lim 1
x
x x x
 . 
Câu 8. Mệnh đề sai là 
A. 2 3lim 1 2
2x
x x x
 . B. 2lim 1 2
x
x x x
 . 
C. 
1
3 2
lim
1x
x
x 
. D. 
1
3 2
lim
1x
x
x 
. 
Câu 9. Mệnh đề sai là 
A. 2 3lim 1 2
2x
x x x
 . B. 
1
3 2
lim
1x
x
x 
. 
C. 2lim 1 2
x
x x x
 . D. 
1
3 2
lim
1x
x
x 
. 
Câu 10. 
2
24
3 4
lim
4x
x x
x x 
 bằng 
A. 1. B. 1 . C. 
5
4
. D. 
5
4
 . 
III. TỤ LUẬN 
Câu 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau: 
a) 
2
2
3 1
 khi 1
2( )
3 2
 khi 1
3
x x
x
xf x
x
x
 tại 0 1.x b) 
2
2
2 3 1 khi 0
( )
3 2 khi 0
x x x
f x
x x x
 tại 
0 0.x 
Lời giải. 
a) Ta cĩ: 
1 1
3 2 5
lim ( ) lim
3 3x x
x
f x
 . 
2
2
1 1
0
3 1 5
lim ( ) lim
2 3
5
3
x x
x x
f x
x
f x
. 
Trường THPT An Khánh Tổ Tốn Trang 4 
Vì 0
1 1
5
lim lim ( ) lim ( )
3x x
f x f x f x
 nên hàm số liên tục tại 0 1.x 
b) Ta cĩ: 
2
0
lim(2 3 1) 1
x
x x
 . 
2
0
lim( 3 2) 2
x
x x
 . 
Vì 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
 nên hàm số khơng liên tục tại 0 0.x 
Câu 2. Tính các giới hạn sau: 
 Dạng: 
0
( )
lim
( )x x
f x
A
g x 
 trong đĩ 0 0( ) ( ) 0f x g x . Dạng này ta gọi là dạng vơ định 
0
0
. 
a) 
21
2 1
lim .
1x
x x
A
x 
 b) 
3
1
2 1 1
lim .
1x
x
B
x 
 c) 
2
32
2 5 2
lim .
3 2x
x x
C
x x 
Lời giải. 
a) Ta cĩ: b) Ta cĩ: 
1
2
1
1
( 2 1 )( 2 1 )
lim
( 1)( 1)( 2 1 )
2 1
 = lim
( 1)( 1)( 2 1 )
( 1)
 = lim
( 1)( 2 1 )
 = 0
x
x
x
x x x x
A
x x x x
x x
x x x x
x
x x x
3
1
2
3 3 3
21 3 3
21 3 3
21 3 3
2 1 1
lim
1
2 1 1 2 1 2 1 1
 = lim
1 2 1 2 1 1
2 1 1
 = lim
1 2 1 2 1 1
2 1
 = lim
1 2 1 2 1 1
2
 =
3
x
x
x
x
x
B
x
x x x
x x x
x
x x x
x
x x x
c) Ta cĩ: 
Trường THPT An Khánh Tổ Tốn Trang 5 
2
32
22
2 5 2
lim
3 2
2 2 1
 = lim
2 1
1
 = .
3
x
x
x x
C
x x
x x
x x
 Dạng: Tìm
( )
lim
( )x
f x
B
g x 
 , trong đĩ ( ), ( )f x g x , dạng này ta cịn gọi là dạng vơ định
. 
a) 
2
2
4 3 4 3
lim .
1x
x x x
A
x x x 
 b) 
3 4
7
(4 1) (2 1)
lim
(3 2 )x
x x
B
x 
Lời giải. 
a) Ta cĩ: b) Ta cĩ: 
2
2
3 4
4 3
1
lim
21 1
1 1
x
x xA
x x
3 4
7
1 1
4 2
lim 8
3
2
x
x x
B
x
 Dạng vơ định: và 0. 
Phương pháp: Những dạng vơ định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng 
. 
a) 2lim 1
x
A x x x
 b) 3 2 23lim ( 3 2 )
x
B x x x x
Lời giải. 
a) Ta cĩ: b) Ta cĩ: 
 2
2
2
lim 1
1
 = lim
1
1
1
1
 = lim
21 1
1 1
x
x
x
A x x x
x
x x x
x
x x
3 2 2 3 2 23 3
2
3 2 2 3 2 2 233
23 3
3 2 ( 3 ) ( 2 )
3 2
( 3 ) 3 2
3 2
lim lim 0
3 3 2
(1 ) 1 1 1 1
x x
x x x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x
B
x x x
Trường THPT An Khánh Tổ Tốn Trang 6 
.