Lý thuyết và bài tập môn Toán (Đại số) Lớp 11

 Đại số 11 
Trang 1 
I. HỆ THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: 
cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a
 Nhận xét: 
 , 1 cos 1; 1 sin 1a a 
 tana xác định khi ,
2
a k k Z 
 , 
 cota xác định khi ,a k k Z 
2. Dấu của các giá trị lượng giác: 
Cung phần tư 
Giá trị lượng giác 
I II II IV 
sina + + – – 
cosa + – – + 
tana + – + – 
cota + – + – 
3. Hệ thức cơ bản: 
sin
2
a + cos
2
a = 1; tana.cota = 1 
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a
4. Cung liên kết: 
Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau 
cos( ) cosa a ( ) sinsin a a sin cos
2
a a
sin( ) sina a cos( ) cosa a cos sin
2
a a
tan( ) tana a tan( ) tana a tan cot
2
a a
cot( ) cota a cot( ) cota a cot tan
2
a a
cosin 
O 
cotang 
 s
i
n
t
a
n
g
p A 
M 
Q 
B T' 
 
T 
Đại số 11 
Trang 2 
5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt 
II. CÔNG THỨC CỘNG 
Công thức cộng: 
III. CÔNG THỨC NHÂN 
Cung hơn kém  Cung hơn kém 
2
sin( ) sina a sin cos
2
a a
cos( ) cosa a cos sin
2
a a
tan( ) tana a tan cot
2
a a
cot( ) cota a cot tan
2
a a
 0 
6
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2 
 0
0 
30
0 
45
0 
60
0 
90
0 
120
0 
135
0 
180
0 
270
0 
360
0 
sin 0 
1
2
2
2
3
2
 1 
3
2
2
2
 0 –1 0 
cos 1 
3
2
2
2
1
2
 0 
1
2
2
2
 –1 0 1 
tan 0 
3
3
 1 3 3 –1 0 0 
cotg 3 1 
3
3
 0 
3
3
 –1 0 
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a 
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a 
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b 
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b 
 tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
Hệ quả: 
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
x x
x x
x x
 Đại số 11 
Trang 3 
1. Công thức nhân đôi: 
 sin2a = 2sina.cosa 
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a 
2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot1 tan
a a
a a
aa
2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba: 
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
: 
 Đặt: tan ( 2 )
2
a
t a k thì: 
2
2
sin
1
t
a
t
; 
2
2
1
cos
1
t
a
t
; 
2
2
tan
1
t
a
t
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 
1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .
b a
a b
a sinb
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
a a a a
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
a a a a
2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
Đại số 11 
Trang 4 
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
1. Phương trình sinx = sin 
 a/ 
2
sin sin ( )
2
x k
x k Z
x k
 b/ 
sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Điều kiện a
x a k
x a k Z
x a k
 c/ sin sin sin sin( )u v u v 
 d/ sin cos sin sin
2
u v u v
 e/ sin cos sin sin
2
u v u v
Các trường hợp đặc biệt: 
 sin 0 ( )x x k k Z 
 sin 1 2 ( )
2
x x k k Z 
 sin 1 2 ( )
2
x x k k Z 
2 2
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z 
2. Phương trình cosx = cos 
 a/ cos cos 2 ( )x x k k Z 
 b/ 
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Điều kiện a
x a x a k k Z
 c/ cos cos cos cos( )u v u v 
 d/ cos sin cos cos
2
u v u v
 e/ cos sin cos cos
2
u v u v
Các trường hợp đặc biệt: 
 cos 0 ( )
2
x x k k Z 
 cos 1 2 ( )x x k k Z cos 1 2 ( )x x k k Z 
2 2
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z 
3. Phương trình tanx = tan 
 a/ tan tan ( )x x k k Z 
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
 Đại số 11 
Trang 5 
 b/ tan arctan ( )x a x a k k Z 
 c/ tan tan tan tan( )u v u v 
 d/ tan cot tan tan
2
u v u v
 e/ tan cot tan tan
2
u v u v
Các trường hợp đặc biệt: 
 tan 0 ( )x x k k Z tan 1 ( )
4
x x k k Z 
4. Phương trình cotx = cot 
 cot cot ( )x x k k Z 
 cot arccot ( )x a x a k k Z 
Các trường hợp đặc biệt: 
 cot 0 ( )
2
x x k k Z 
 cot 1 ( )
4
x x k k Z 
5. Một số điều cần chú ý: 
 a/ Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn 
bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. 
 * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( ).
2
x k k Z 
 * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: ( )x k k Z 
 * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )
2
x k k Z 
 * Phương trình có mẫu số: 
 sin 0 ( )x x k k Z 
 cos 0 ( )
2
x x k k Z 
 tan 0 ( )
2
x x k k Z 
 cot 0 ( )
2
x x k k Z 
 b/ Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách 
sau để kiểm tra điều kiện: 
 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 
 2. Dùng đường tròn lượng giác. 
 3. Giải các phương trình vô định. 
Bài 1. Giải các phương trình: 
Đại số 11 
Trang 6 
 1) cos 2 0
6
x
 2) cos 4 1
3
x
 3) cos 1
5
x
 4) sin 3 0
3
x
 5) sin 1
2 4
x 
 6) sin 2 1
6
x
 7) 
1
sin 3 1
2
x 8) 0 2cos 15
2
x 9) 
3
sin
2 3 2
x 
 10) 
1
cos 2
6 2
x
 11) tan 2 1 3x 12) 0 3cot 3 10
3
x 
 13) tan 3 1
6
x
 14) cot 2 1
3
x
 15) cos(2x + 25
0
) = 
2
2
Bài 2. Giải các phương trình: 
 1) sin 3 1 sin 2x x 2) cos cos 2
3 6
x x
 3) cos3 sin2x x 4) 0sin 120 cos2 0x x 
 5) cos 2 cos 0
3 3
x x
 6) sin3 sin 0
4 2
x
x
 7) tan 3 tan
4 6
x x
 8) cot 2 cot
4 3
x x
 9) tan 2 1 cot 0x x 10) 2cos 0x x 
 11) 2sin 2 0x x 12) 2tan 2 3 tan2x x 
 13) 
2
cot 1x 14) 
2 1
sin
2
x 
 15) 
1
cos
2
x 16) 2 2sin cos
4
x x
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
 Nếu đặt: 
2
sin sin : 0 1.t x hoặc t x thì điều kiện t 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
Dạng Đặt Điều kiện 
2
sin 0asin x b x c t = sinx 1 1t 
2
cos cos 0a x b x c t = cosx 1 1t 
2
tan tan 0a x b x c t = tanx ( )
2
x k k Z 
2
cot cot 0a x b x c t = cotx ( )x k k Z 
 Đại số 11 
Trang 7 
 1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x – 4cosx – 1 = 0 
 3) 4cos
5
x.sinx – 4sin5x.cosx = sin24x 4) 2tan 1 3 tan 3 0x x 
 5) 24sin 2 3 1 sin 3 0x x 6) 34cos 3 2 sin2 8cosx x x 
 7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
 1) 4sin
2
3x + 2 3 1 cos3 3x = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 
 3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos2(1 – 3x) = 13 4) 
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
 5) 
3
cos x
 + tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx + 
2
4
1 tan x 
 = 0 
 7) 
2
1
sin x
 = cotx + 3 8) 
2
1
cos x
 + 3cot
2
x = 5 
 9) cos2x – 3cosx = 24cos
2
x
 10) 2cos2x + tanx = 
4
5
Bài 3. Cho phương trình 
sin3 cos3 3 cos2
sin
1 2sin2 5
x x x
x
x
. Tìm các nghiệm của 
phương trình thuộc 0 ; 2 . 
Bài 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của 
phương trình thuộc ; . 
Bài 5. Giải phương trình : 
4 4 4 5
sin sin sin
4 4 4
x x x
 . 
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX 
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1) 
Cách 1: 
 Chia hai vế phương trình cho 2 2a b ta được: 
(1) 
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
 Đặt: 
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
 phương trình trở thành: 
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
2 2
cos( ) cos (2)
c
x
a b
  
 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
Đại số 11 
Trang 8 
 (2) 2 ( )x k k Z  
Cách 2: 
a/ Xét 2
2 2
x
x k k 
 có là nghiệm hay không? 
b/ Xét 2 cos 0.
2
x
x k 
Đặt: 
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2 1 1
x t t
t thay x x
t t
 ta được phương trình bậc hai theo t: 
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b 
 Vì 2 0,x k b c nên (3) có nghiệm khi: 
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c 
 Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: 
0
tan .
2
x
t 
 Ghi chú: 
 1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận. 
 2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: 
2 2 2
.a b c 
 3/ Bất đẳng thức B.C.S: 
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b 
2 2 2 2 sin cos
min max tan
x x a
y a b và y a b x
a b b
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) cos 3sin 2x x 2) 
6
sin cos
2
x x 3) 3 cos3 sin3 2x x 
4) sin cos 2 sin5x x x 5) 3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x 
6) 3 sin2 sin 2 1
2
x x
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) 
2
2sin 3sin2 3x x 2) sin8 cos6 3 sin6 cos8x x x x 
3) 
3 1
8cos
sin cos
x
x x
 4) cosx – 3 sin 2cos
3
x x
5) sin5x + cos5x = 2 cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)2 + 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6) 
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
1) 3sinx – 2cosx = 2 2) 3 cosx + 4sinx – 3 = 0 
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5 
Bài 4. Giải các phương trình sau: 
1) 2sin
4
x
 + sin
4
x
 = 
3 2
2
 2) 3 cos2 sin2 2sin 2 2 2
6
x x x
Bài 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm . 
Bài 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm. 
 Đại số 11 
Trang 9 
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1) 
Cách 1: 
 Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không? 
 Lưu ý: cosx = 0 
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x 
 Khi cos 0x , chia hai vế phương trình (1) cho 2cos 0x ta được: 
2 2
. tan .tan (1 tan )a x b x c d x 
 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t: 
2
( ) . 0a d t b t c d 
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 
1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
 .sin2 ( ).cos2 2b x c a x d a c (đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và 
 cos2x) 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) 2 22sin 1 3 sin .cos 1 3 cos 1x x x x 
2) 2 23sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x 
3) 
2 2
4sin 3 3sin .cos 2cos 4x x x x 
4) 
2 2 1
sin sin2 2cos
2
x x x 
5) 2 22sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x 
6) 
2 2
5sin 2 3sin .cos 3cos 2x x x x 
7) 
2 2
3sin 8sin .cos 4cos 0x x x x 
8) 2 22 1 sin sin2 2 1 cos 2x x x 
9) 2 23 1 sin 2 3sin .cos 3 1 cos 0x x x x 
10) 
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x 
11) cos
2
x + 3sin
2
x + 2 3 sinx.cosx – 1 = 0 
12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin2x = 0 
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
1) sin
3
x + 2sin
2
x.cos
2
x – 3cos3x = 0 2) 2
2 1
3sin .cos sin
2
x x x
Bài 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm. 
Bài 4. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin2x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos2x = 0 vô 
 nghiệm . 
Đại số 11 
Trang 10 
V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 
Dạng 1: a.(sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0 
 Đặt: cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
2 21
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t 
 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình 
này tìm t thỏa 2.t Suy ra x. 
Lưu ý dấu: 
 cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
 cos sin 2 cos 2 sin
4 4
x x x x
Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 
 Đặt: cos sin 2. cos ; : 0 2.
4
t x x x Đk t
21
sin .cos ( 1).
2
x x t 
 Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 
Bài 1. Giải các phương trình: 
 1) 2sin2 3 3 sin cos 8 0x x x 2) 2 sin cos 3sin2 2x x x 
 3) 3 sin cos 2sin2 3x x x 4) 1 2 1 sin cos sin2x x x 
 5) sinx + cosx – 4sinx.cosx – 1 = 0 6) 1 2 sin cos sin2 1 2x x x 
Bài 2. Giải các phương trình: 
 1) sin2 4 cos sin 4x x x 2) 5sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0 
 3) 1 2 1 sin cos sin2x x x 4) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0 
 5) sin2x + 2 sin 1
4
x
 6) 2sin cos 2 1 (sin cos ) 2 0x x x x 
Bài 3. Giải các phương trình: 
 1) sin
3
x + cos
3
x = 1 + 2 2 sinx.cosx 2) 2sin2x – 3 6 sin cos 8 0x x 
 Đại số 11 
Trang 11 
VI. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
 1) sin
2
x = sin
2
3x 2) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x = 
3
2
 3) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x = 1 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 
3
2
Bài 2. Giải các phương trình sau: 
 1) sin
6
x + cos
6
x = 
1
4
 2) sin
8
x + cos
8
x = 
1
8
 3) cos
4
x + 2sin
6
x = cos2x 4) sin
4
x + cos
4
x – cos2x + 
2
1
4sin 2x
 – 1 = 0 
Bài 3. Giải các phương trình sau: 
 1) 1 + 2sinx.cosx = sinx + 2cosx 2) sinx(sinx – cosx) – 1 = 0 
 3) sin
3
x + cos
3
x = cos2x 4) sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 
 5) sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos
2
x 6) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = 3 – 4cos2x 
 7) (sinx – sin2x)(sinx + sin2x) = sin23x 
 8) sinx + sin2x + sin3x = 2 (cosx + cos2x + cos3x) 
Bài 4. Giải các phương trình sau: 
 1) 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x 2) 2sinx.cos2x + 1 + 2cos2x + sinx = 0 
 3) 3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinx.sin2x 
 4) cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos
2
x + 1 
Bài 5. Giải các phương trình sau: 
 1) sinx + sin3x + sin5x = 0 2) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x 
 3) cos2x – cos8x + cos6x = 1 4) sin7x + cos22x = sin22x + sinx 
Bài 6. Giải các phương trình sau: 
 1) sin
3
x + cos
3
x + 
1
sin2 .sin
42
x x
 = cosx + sin3x 
 2) 1 + sin2x + 2cos3x(sinx + cosx) = 2sinx + 2cos3x + cos2x