Đề hướng dẫn ôn tập thi Tốt nghiệp năm 2021 môn Toán - Đề số 03 (Có đáp án)

1 
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP NĂM 2021 
ĐỀ SỐ 03 
Câu 1: Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh? 
A. 213C . B. 
2
13A . C. 13 . D. 
2 2
5 8C C . 
Câu 2: Cho dãy số nu là một cấp số cộng có 1 3u và công sai 4d . Biết tổng n số hạng đầu của 
dãy số nu là 253nS . Tìm n . 
A. 9 . B. 11 . C. 12 . D. 10 . 
Câu 3: Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau: 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng đã cho dưới đây? 
A. ;2 . B. 4; . C. 2;2 . D. 1;3 . 
Câu 4: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
Hàm số đã cho đạt cực đại tại 
A. 2x . B. 2x . C. 1x . D. 1x . 
Câu 5: Cho hàm số ( )f x xác định trên và có bàng xét dấu của đạo hàm ( )f x như sau 
Hàm số ( )f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1
5
y
x
 là đường thẳng 
A. 1x . B. 5x . C. 5x D. 5y . 
Câu 7: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số y f x là hàm 
số nào trong các hàm số cho dưới đây? 
2 
A. 3 23 1y x x . B. 3 23 1y x x . C. 2
1
xy
x
. D. 4 22 1y x x . 
Câu 8: Tọa độ giao điểm của đồ thị của hàm số 4 23 2y x x với trục tung là 
A. 0 ; 2 . B. 2 . C. 0 ; 2 . D. 2 ; 0 . 
Câu 9: Với a là số thực dương tùy ý, 22log 32a bằng 
A. 25 2 log a . B. 2
25 log a . C. 25 log a . D. 25 2 log a . 
Câu 10: Đạo hàm của hàm số xy là 
A. 1.xy x B. .
ln
x
y 
 C. ln .xy D. .xy 
Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý 2 3a a bằng 
A. 
7
2a . B. 
7
3a . C. 
1
3a . D. 5a . 
Câu 12: Nghiệm của phương trình 2 1 12
4
x là 
A. 1
2
x . B. 3
2
x . C. 1
2
x . D. 3
2
x 
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình 3 3log log ( 2) 2x x là 
A. 1 3S . B. 1 10; 1 10S . 
C. 1 10S . D. 0;2S . 
Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số 23 sinf x x x là 
A. 3 cosx x C . B. 6 cosx x C . C. 3 cosx x C . D. 6 cosx x C . 
Câu 15: Cho hàm số 2sinf x x . Trong các khẳng đinh sau, khằng định nào đúng? 
A. 2sin 2 cosxdx x C B. 2 sin 2cosxdx x C 
C. 22sin sinxdx x C D. 2sin sin 2xdx x C 
Câu 16: Cho hàm số f x liên tục trên và có 
1
0
d 2f x x ; 
3
1
d 6f x x . Tính 
3
0
dI f x x 
. 
A. 8I . B. 12I . C. 36I . D. 4I . 
Câu 17: Tích phân 
2021
0
2x dx bằng 
A. 
20212
ln 2
. B. 
20212 1
ln 2
 . C. 20212 1 . D. 20212 . 
Câu 18: Số phức liên hợp của số phức 5 3z i là: 
A. 5 3z i . B. 5 3z i . C. 5 3z i . D. 5 3
34 34
z i . 
Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn 1 2 2 4z i z i . Môđun số phức z bằng bao nhiêu? 
A. 3z . B. 5z . C. 5z . D. 3z . 
3 
Câu 20: Cho hai số phức 1 2z i . Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy điểm biểu diễn của số phức liên hợp 
12z có tọa độ là 
A. (5; 1) . B. (4; 2) . C. (1;5) . D. ( 1;5) . 
Câu 21: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 2a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho 
bằng 
A. 32
3
a . B. 34
3
a . C. 32a . D. 34a . 
Câu 22: Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước a ; 2a ; 3a bằng: 
A. 23 2a . B. 33 2a . C. 3 2a . D. 3 6a . 
Câu 23: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l 
A. 1
3
S rl . B. 2S rl . C. S rl . D. 2S rl r . 
Câu 24: Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a . Thể tích 
khối trụ bằng: 
A. 3a . B. 
3
3
a . C. 
3
2
a . D. 
3
4
a . 
Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho điểm 5;0;5I là trung điểm của đoạn MN , biết 1; 4;7M . 
Tìm tọa độ của điểm N . 
A. 10;4;3N . B. 2; 2;6N . C. 11; 4;3N . D. 11;4;3N . 
Câu 26: Trong không gian ,Oxyz mặt cầu 2 2 2( 12x z) 4 2:S x yy z có tâm là 
A. (2;4 ; 2) B. (1;2;1) C. (1;2; 1) D. ( 1; 2 ;1) 
Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm đi qua điểm 
(1; 1;1)M 
 A. 1 : 0P x y z . B. 2 : 1 0P x y z 
 C. 3 : 2 0P x y z D. 4 : 2 1 0P x y z 
Câu 28: Trong không gian ,Oxyz vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua 
gốc tọa độ O và điểm 1;3;2M ? 
A. 1 1;1;1 .u 
 
 B. 2 1;2;1 .u 
 
 C. 3 0;1;0 .u 
 
 D. 4 1; 3; 2 .u 
 
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Xác suất để chọn được một số lẻ và chia hết 
cho 5 bằng 
A. 2
9
. B. 9
80
. C. 4
5
. D. 1
10
. 
Câu 30: Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên ? 
A. 4y x . B. 3 23y x x . C. 2 3
1
xy
x
. D. 4 23 1y x x . 
Câu 31: Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 41y x
x
 trên đoạn 
 3; 1 . Tích .M m bằng? 
A. 10 . B. 12 . C. 12 . D. 40
3
. 
4 
Câu 32: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2log 4 5 1x x 
A. 5;S . B. ; 1 5;S  . 
C. ; 1S . D. 1;5S . 
Câu 33: Cho 
2
0
d 5f x x
 . Tính 
2
0
2sin dI f x x x
 . 
A. 7I . B. 5
2
I . C. 3I . D. 5I . 
Câu 34: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức liên hợp của số phức 1 2 1z i i có điểm biểu 
diễn là điểm nào sau đây? 
A. 3;1Q . B. 3;1N . C. 3; 1M . D. 1;3P . 
Câu 35: Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC và 2SA a , biết tam giác ABC 
vuông cân tại B và 2AC a (minh họa như hình vẽ). 
Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC . 
A. 090 . B. 030 . C. 060 . D. 045 . 
Câu 36: Tính đường cao h của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . 
A. h a . B. 7h a . C. 3h a . D. 5h a . 
Câu 37: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu S có tâm 1;2;1I và đi qua 
điểm (0;4; 1)A là. 
A. 2 2 21 2 1 9x y z . B. 2 2 21 2 1 3x y z . 
C. 2 2 21 2 1 3x y z . D. 2 2 21 2 1 9x y z . 
Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm 1; 2;0A , 2; 1;3B , 0; 1;1C . Đường trung tuyến 
AM của tam giác ABC có phương trình là 
A. 
1
2
2
x
y t
z t
. B. 
1 2
2
2
x t
y
z t
. C. 
1
2
2
x t
y
z t
. D. 
1 2
2
2
x t
y t
z t
. 
Câu 39: Cho hàm số y f x có bảng xét dấu biến thiên như sau: 
Giá trị lớn nhất của hàm số sin 1f x bằng bao nhiêu? 
5 
A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . 
Câu 40: Tập nghiệm của bất phương trình 2 23 . 54 5.3 9 6 .3 45x x xx x x x là: 
A. ;1 2;  B. ;1 2;5  C. ;1 5;  D. 1;2 5; . 
Câu 41: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn 
16
9
d 6
f x
I x
x
 và 
2
0
2cos 1 sin d 3f x x x
. Tính tích phân 
4
1
dI f x x . 
A. 2I . B. 6I . C. 9I . D. 2I . 
Câu 42: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 3 3 2z i và 22z i là số thuần ảo? 
A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . 
Câu 43: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S 
với mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh AB và SCD tạo với đáy một góc 060 . Mặt phẳng chứa 
AB và vuông góc với SCD cắt ,SC SD lần lượt tại M và N . Thể tích của khối chóp 
.S ABMN bằng 
A. 
321
4
a . B. 
37 3
2
a . C. 
321 3
4
a . D. 
37 3
4
a . 
Câu 44: Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao 
nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là 40cm . Giá 
mạ vàng 21m là 470.000đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó. 
Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây. 
A. 512.000 đồng. B. 664.000 đồng. C. 612.000 đồng. D. 564.000 đồng. 
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1
3 3 2:
1 2 1
x y zd 
; 
2
5 1 2:
3 2 1
x y zd 
 và mặt phẳng : 2 3 5 0P x y z . Đường thẳng vuông góc với 
 P , cắt 1d và 2d có phương trình là 
A. 2 3 1
1 2 3
x y z . B. 3 3 2
1 2 3
x y z . 
C. 1 1
1 2 3
x y z . D. 1 1
3 2 1
x y z . 
6 
Câu 46: Cho hàm số f x liên tục trên tập số thực và có 1 0f . Hàm số f x có đồ thị như hình 
vẽ: 
Hàm số 2( ) 2 1g x f x x đồng biến trên khoảng nào? 
A. 3; . B. 1;2 . C. 0; . D. 0;3 . 
Câu 47: Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 22 1 2 2 33 log 2 2x x x m x x x m 
có đúng ba nghiệm phân biệt là 
A. 3 . B. 2 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 48: Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị 
hàm số 2xy xung quanh trục .Oy Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính 
R thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của 
viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 3cm (như hình vẽ). Thể tích nước có trong ly gần với 
giá trị nào nhất trong các giá trị sau? 
A. 230 .cm B. 240 .cm C. 250 .cm D. 260 .cm 
Câu 49: Xét các số phức 1 2 31 , 1 3 , 4z i z i z i và số phức z thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức 
4 5 6, ,z z z mà 5 3 6 14 2
4 3 5 1 6 2
, ,z z z zz z
z z z z z z
 là các số thực, còn 5 64
2 3 3 1 1 2
, ,z z z zz z
z z z z z z
 thuần ảo. Tìm 
giá trị nhỏ nhất của 2 2 24 5 6 .T z z z z z z 
A. 72 .
5
 B. 3. C. 72 .
25
 D. 18 .
25
Câu 50: Cho tam giác ABC có 2;2;3 , 1;3;3 , 1;2;4A B C . Các tia ,Bu Cv vuông góc với mặt phẳng 
 ABC và nằm cùng phía đối với mặt phẳng ấy. Các điểm ,M N di động tương ứng trên các 
tia ,Bu Cv sao cho BM CN MN . Gọi trực tâm H tam giác AMN , biết H nằm trên một 
đường tròn C cố định. Tính bán kính của đường tròn C . 
A. 3 2
8
. B. 3 2
4
. C. 5 2
8
. D. 2 2
3
. 
7 
Hướng dẫn giải 
Câu 1 Từ một nhóm học sinh gồm 5 nam và 8 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra hai học sinh? 
A. 213C . B. 
2
13A . C. 13 . D. 
2 2
5 8C C min 8P 
. 
Lời giải 
Chọn A 
Từ giả thiết ta có 13 học sinh. 
 Mỗi cách chọn 2 học sinh từ 13 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 13 . 
Vậy số cách chọn là 213C . 
Câu 2 Cho dãy số nu là một cấp số cộng có 1 3u và công sai 4d . Biết tổng n số hạng đầu của dãy 
số nu là 253nS . Tìm n . 
A. 9 . B. 11 . C. 12 . D. 10 . 
Lời giải 
Chọn B 
 Ta có 
 12 1 2.3 1 .4 253
2 2n
n u n d n n
S
2
11
4 2 506 0 23
2
n
n n
n L
. 
Câu 3 Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau: 
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng đã cho dưới đây? 
A. ;2 . B. 4; . C. 2;2 . D. 1;3 . 
Lời giải 
Chọn B 
 Ta thấy trên 4; thì ( ) 0f x nên hàm số đồng biến. 
Câu 4 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
8 
Hàm số đã cho đạt cực đại tại 
A. 2x . B. 2x . C. 1x . D. 1x . 
Lời giải 
Chọn D 
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm 1x . 
Câu 5 Cho hàm số ( )f x xác định trên và có bàng xét dấu của đạo hàm ( )f x như sau 
Hàm số ( )f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 
Lời giải 
Chọn D 
Hàm số f x xác định trên và có f x đổi dấu khi qua các điểm 3x , 1x , 0x 
và 2x nên f x có 4 điểm cực trị. 
Câu 6 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1
5
y
x
 là đường thẳng 
A. 1x . B. 5x . C. 5x D. 5y . 
Lời giải 
Chọn B 
 Vì 
5
1lim
5x x 
 nên đường thẳng 5x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. 
Câu 7 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số y f x là hàm 
số nào trong các hàm số cho dưới đây? 
A. 3 23 1y x x . B. 3 23 1y x x . C. 2
1
xy
x
. D. 4 22 1y x x . 
Lời giải 
Chọn A 
Hàm số xác định với x loại đáp án C. 
Từ BBT suy ra lim ; lim
x x
f x f x
 loại đáp án B và D. 
9 
Câu 8 Tọa độ giao điểm của đồ thị của hàm số 4 23 2y x x với trục tung là 
A. 0 ; 2 . B. 2 . C. 0 ; 2 . D. 2 ; 0 . 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi 0 0;M x y là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. Ta có 0 00 2x y . 
 Vậy tọa độ giao điểm là 0 ; 2 . 
Câu 9 Với a là số thực dương tùy ý, 22log 32a bằng 
A. 25 2 log a . B. 2
25 log a . C. 25 log a . D. 25 2 log a . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có: 222 22 2 l3log 32 log log 5 2 og2a a a . 
Câu 10 Đạo hàm của hàm số xy là 
A. 1.xy x B. .
ln
x
y 
 C. ln .xy D. .xy 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có: lnxy . 
Câu 11 Với a là số thực dương tùy ý 2 3a a bằng 
A. 
7
2a . B. 
7
3a . C. 
1
3a . D. 5a . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có:
3 3 722 3 2 2 2 2.a a a a a a
Câu 12 Nghiệm của phương trình 2 1 12
4
x là 
A. 1
2
x . B. 3
2
x . C. 1
2
x . D. 3
2
x . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có 2 1 2 1 21 12 2 2 2 1 2 .
4 2
x x x x 
Câu 13 Tập nghiệm của phương trình 3 3log log ( 2) 2x x là 
A. 1 3S . B. 1 10; 1 10S . 
C. 1 10S . D. 0;2S . 
Lời giải 
Chọn C 
10 
Điều kiện 0x . 
Ta có : 23 3 3log log 2 2 log 2 2 2 3x x x x x x 
2 1 102 9 0
1 10
x
x x
x
Vì 0x nên phương trình có nghiệm duy nhất là 1 10x . 
Câu 14 Họ nguyên hàm của hàm số 23 sinf x x x là 
A. 3 cosx x C . B. 6 cosx x C . C. 3 cosx x C . D. 6 cosx x C . 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có 2 33 sin cosf x dx x x dx x x C 
Câu 15 Cho hàm số 2sinf x x . Trong các khẳng đinh sau, khằng định nào đúng? 
A. 2sin 2 cosxdx x C B. 2 sin 2cosxdx x C 
C. 22sin sinxdx x C D. 2sin sin 2xdx x C 
Lời giải 
Ta có: sin d cos .x x x C 
2 sin 2 sin x 2cosxdx dx x C 
Câu 16 Cho hàm số f x liên tục trên và có 
1
0
d 2f x x ; 
3
1
d 6f x x . Tính 
3
0
dI f x x 
. 
A. 8I . B. 12I . C. 36I . D. 4I . 
Lời giải 
Chọn A 
3 1 3
0 0 1
d d d 2 6 8I f x x f x x f x x . 
Câu 17 Tích phân 
2021
0
2x dx bằng 
A. 
20212
ln 2
. B. 
20212 1
ln 2
 . C. 20212 1 . D. 20212 . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có 
20212021 2021
00
2 2 12
ln 2 ln 2
x
x dx 
Câu 18 Số phức liên hợp của số phức 5 3z i là: 
11 
A. 5 3z i . B. 5 3z i . C. 5 3z i . D. 5 3
34 34
z i . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có: 5 3z i . 
Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn 1 2 2 4z i z i . Môđun số phức z bằng bao nhiêu? 
A. 3z . B. 5z . C. 5z . D. 3z . 
Lời giải 
Chọn B 
Gọi ,z a bi a b là số phức cần tìm. 
Ta có: 1 2 2 4 1 2 2 4z i z i a bi i a bi i . 
 2 2 2 22 2 2 2 4
2 4 1
a b a
a b ai i
a b
. 
Vậy 2 22 2 1 5z i z . 
Câu 20 Cho hai số phức 1 2z i . Trong mặt phẳng tọa độ ,Oxy điểm biểu diễn của số phức liên hợp 
12z có tọa độ là 
A. (5; 1) . B. (4; 2) . C. (1;5) . D. ( 1;5) . 
Lời giải 
Chọn B 
12 2(2 ) 4 2z i i . Vậy điểm biểu diễn là (4; 2)M . 
Câu 21 Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 2a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho 
bằng 
A. 32
3
a . B. 34
3
a . C. 32a . D. 34a . 
Lời giải 
Chọn C 
Thể tích khối lăng trụ: 2 3. .2 2V B h a a a . 
Câu 22 Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước a ; 2a ; 3a bằng: 
A. 23 2a . B. 33 2a . C. 3 2a . D. 3 6a . 
Lời giải 
Chọn B 
Thể tích của khối hộp chữ nhật 3. 2.3 3 2V a a a a (đvtt). 
Câu 23 Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l 
A. 1
3
S rl . B. 2S rl . C. S rl . D. 2S rl r . 
Lời giải 
12 
Chọn C 
Ta có: Công thức tính diện tích xung quanh hình nón S rl . 
Câu 24 Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng a . Thể tích 
khối trụ bằng: 
A. 3a . B. 
3
3
a . C. 
3
2
a . D. 
3
4
a . 
Lời giải 
Chọn D 
Do thiết diện đi qua trục hình trụ nên ta có h a . 
Bán kính đáy 
2
aR . Do đó thể tích khối trụ 
3
2. .
4
aV R h . 
Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho điểm 5;0;5I là trung điểm của đoạn MN , biết 1; 4;7M . 
Tìm tọa độ của điểm N . 
A. 10;4;3N . B. 2; 2;6N . C. 11; 4;3N . D. 11;4;3N . 
Lời giải 
Chọn D 
 5;0;5I là trung điểm của đoạn MN nên ta có 
2
2
2
M N
I
M N
I
M N
I
x xx
y yy
z zz
2
2
2
N I M
N I M
N I M
x x x
y y y
z z z
2 5 1
2.0 4
2.5 7
N
N
N
x
y
z
11
4
3
N
N
N
x
y
z
 11;4;3N . 
Câu 26 Trong không gian ,Oxyz mặt cầu 2 2 2( 12x z) 4 2:S x yy z có tâm là 
A. (2;4 ; 2) B. (1;2;1) C. (1;2; 1) D. ( 1; 2 ;1) 
Lời giải 
Chọn C 
 Tâm mặt cầu S là 1;2 ; 1I 
Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm đi qua điểm 
(1; 1;1)M 
 A. 1 : 0P x y z . B. 2 : 1 0P x y z 
 C. 3 : 2 0P x y z D. 4 : 2 1 0P x y z 
Lời giải 
Chọn B 
 Ta lấy tọa độ điểm M thế vào từng đáp án, thấy rằng chỉ có câu B thỏa: 2 :1 1 1 1 0P 
thỏa. chọn B. 
13 
Câu 28 Trong không gian ,Oxyz vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua 
gốc tọa độ O và điểm 1;3;2M ? 
A. 1 1;1;1 .u 
 
 B. 2 1;2;1 .u 
 
 C. 3 0;1;0 .u 
 
 D. 4 1; 3; 2 .u 
 
Lời giải 
Chọn D 
 Vec tơ 1;3;2 1; 3; 2OM 
 
Câu 29 Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số. Xác suất để chọn được một số lẻ và chia hết 
cho 5 bằng 
A. 2
9
. B. 9
80
. C. 4
5
. D. 1
10
. 
Lời giải 
Chọn D 
Số phần tử của không gian mẫu: 90n  . 
Trong 90 số tự nhiên có hai chữ số có 9 số lẻ và chia hết cho 5 là: 
15;25;35;45;55;65;75;85;95 
Xác suất cần tìm là: 9 1
90 10
 . 
Câu 30 Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn nghịch biến trên ? 
A. 4y x . B. 3 23y x x . C. 2 3
1
xy
x
. D. 4 23 1y x x . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có: 4y x là hàm số bậc nhất có 1 0.a 
Câu 31 Gọi ,M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 41y x
x
 trên đoạn 
 3; 1 . Tích .M m bằng? 
A. 10 . B. 12 . C. 12 . D. 40
3
. 
Lời giải 
Chọn B 
Hàm số 41y x
x
 xác định và liên tục trên đoạn  3; 1 . 
Ta có 2
41y
x
 
 
2 3; 1
0
2 3; 1
x
y
x
. 
 103
3
y ; 2 3y ; 1 4y . 
14 
Suy ra: 
 
3; 1
max 2 3M y y
 ; 
 
3; 1
min 1 4m y y
Vậy . 12M m . 
Câu 32 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2log 4 5 1x x 
A. 5;S . B. ; 1 5;S  . 
C. ; 1S . D. 1;5S . 
Lời giải 
Chọn B 
Điều kiện 2 4 5 0x x x  
 2 2 2 1log 4 5 1 4 5 10 4 5 0 5
x
x x x x x x
x
Vậy tập nghiệm S của bất phương trình 2log 4 5 1x x là ; 1 5;S  
Câu 33 Cho 
2
0
d 5f x x
 . Tính 
2
0
2sin dI f x x x
 . 
A. 7I . B. 5
2
I . C. 3I . D. 5I . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có 
22 2
0 0 0
2 sin d d +2 sin dI f x x x f x x x x
2
2
0
0
d 2cos 5 2 0 1 7f x x x
 . 
Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức liên hợp của số phức 1 2 1z i i có điểm biểu 
diễn là điểm nào sau đây? 
A. 3;1Q . B. 3;1N . C. 3; 1M . D. 1;3P . 
Lời giải 
Ta có 1 2 1z i i 3 i 3z i . 
Do đó điểm biểu diễn của z là 3; 1M . 
Câu 35 Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC và 2SA a , biết tam giác ABC 
vuông cân tại B và 2AC a (minh họa như hình vẽ). 
15 
Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC . 
A. 090 . B. 030 . C. 060 . D. 045 . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có SB có hình chiếu vuông góc xuống ABC là AB , do đó góc giữa đường thẳng SB và 
mặt phẳng ABC là SBA . 
Do tam giác ABC vuông cân tại B và 2AC a nên 2 2 2AB BC AC 2 22 4AB a 
2AB a . 
Trong tam giác SAB có tan SASBA
AB
 1 , do đó 045SBA . 
Vậy số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 045 . 
Câu 36 Tính đường cao h của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . 
A. h a . B. 7h a . C. 3h a . D. 5h a . 
Lời giải 
Ta có: 222 2 2 23 2 7 7 7SO SA AO a a a SO a h a . 
Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt cầu S có tâm 1;2;1I và đi qua 
điểm (0;4; 1)A là. 
A. 2 2 21 2 1 9x y z . B. 2 2 21 2 1 3x y z . 
C. 2 2 21 2 1 3x y z . D. 2 2 21 2 1 9x y z . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có: 1; 2;2AI 
 
, suy ra bán kính mặt cầu S là 3R AI . 
Khi đó: 2 2 21;2;1: : 1 2 1 9
3
qua I
S S x y z
R
. 
16 
Câu 38 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm 1; 2;0A , 2; 1;3B , 0; 1;1C . Đường trung tuyến 
AM của tam giác ABC có phương trình là 
A. 
1
2
2
x
y t
z t
. B. 
1 2
2
2
x t
y
z t
. C. 
1
2
2
x t
y
z t
. D. 
1 2
2
2
x t
y t
z t
. 
Lời giải 
Chọn A 
Trung điểm BC là 1; 1;2M , suy ra 0;1;2AM 
 
. 
Do đó phương trình đường thẳng AM là 
1
2
2
x
y t
z t
. 
Câu 39 Cho hàm số y f x có bảng xét dấu biến thiên như sau: 
Giá trị lớn nhất của hàm số sin 1f x bằng bao nhiêu? 
A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . 
Lời giải 
Chọn D 
Đặt sin 1 , 2 0x t t . 
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f t trên đoạn 2;0 . 
Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y f t trên đoạn 2;0 là 3 khi 2t 
hay s inx 1 2 ,
2
x k k Z . 
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số sin 1f x bằng 3. 
Câu 40 Tập nghiệm của bất phương trình 2 23 . 54 5.3 9 6 .3 45x x xx x x x là: 
A. ;1 2;  B. ;1 2;5  C. ;1 5;  D. 1;2 5; . 
Lời giải 
Chọn D 
Bất phương trình 2 23 . 54 5.3 9 6 .3 45x x xx x x x tương đương với: 
17 
2 2 2
2
2
2
3 . 9 6 .3 54 5.3 45 0 3 9 6 3 9 5 3 9 0
2
3 9 0
1
6 5 0 553 9 6 5 0
1 23 9 0
2
6 5 0 1 5
x x x x x x
x
x
x
x x x x x x
x
x
x x xxx x
x
x
x x x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1;2 5; . 
Câu 41 Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn 
16
9
d 6
f x
I x
x
 và 
2
0
2cos 1 sin d 3f x x x
. Tính tích phân 
4
1
dI f x x . 
A. 2I . B. 6I . C. 9I . D. 2I . 
Lời giải 
Chọn C 
 Xét 
 16
9
d 6
f x
I x
x
 , đặt d d2
xx t t
x
Đổi cận: 9 3x t ; 16 4x t 
4
3
2 d 6I f t t 
4
3
6d 3
2
f t t . 
2
0
2cos 1 sin d 3J f x x x
 , đặt 2cos 1 2sin d dx u x x u 
Đổi cận: 0 3x u ; 1
2
x u . 
1 3
3 1
1 d 3 6
2
J f u u f u du . 
Vậy 
4 3 4
1 1 3
d d d 6 3 9I f x x f x x f x x . 
Câu 42 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 3 3 2z i và 22z i là số thuần ảo? 
A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . 
Lời giải 
Chọn A 
Đặt z a bi ,a b . 
Có 2 22 2z i a bi i 2 2 4 4 4 2a b b a ab i . 
Để 22z i là số thuần ảo thì 22 2 2 24 4 0 2
2
a b
a b b a b
a b
. 
18 
Lại có 2 21 3 3 2 1 3 3 2z i a b 2 2 2 6 8 0a b a b . 
Giải hai hệ phương trình: 
 1 : 2 2
2
2 6 8 0
a b
a b a b
2 2
2
2 2 2 6 8 0
a b
b b b b
2
2
2 0
a b
b
2
0
a
b
2z . 
 2 : 2 2
2
2 6 8 0
a b
a b a b
2 2
2
2 2 2 6 8 0
a b
b b b b
2
2
2 4 8 0
a b
b b
2
1 5
1 5
a b
b
b
3 5
1 5
3 5
1 5
a
b
a
b
 3 5 1 5z i ; 3 5 1 5z i . 
Vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Câu 43 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S 
với mặt phẳng đáy là trung điểm cạnh AB và SCD tạo với đáy một góc 060 . Mặt phẳng chứa 
AB và vuông góc với SCD cắt ,SC SD lần lượt tại M và N . Thể tích của khối chóp 
.S ABMN bằng 
A. 
321
4
a . B. 
37 3
2
a . C. 
321 3
4
a . D. 
37 3
4
a . 
Lời giải 
Chọn D 
Gọi H là trung điểm của cạnh AB SH ABCD  . Gọi P là trung điểm của CD . 
Suy ra CD HP CD SHP
CD SH
    
. Do vậy : 
 0 0 2 2, 60 .tan 60 2 3; 4SCD ABCD SPH SH HP a SP SH HP a . 
Kẻ HK SP HK SCD ABK SCD   ABCD ABK . 
19 
Mặt khác 
//
// //
AB CD
AB ABMN ABMN SCD MN CD AB
CD SCD
    
 nên MN là đường thẳng 
đi qua K và song song với CD . 
Ta có : 
3
.
1 1 1 1 3 7 3. . . 2 3 .3 .
3 3 2 6 2 4S ABMN ABMN
a aV V SK AB MN HK SK a a a
Câu 44 Công ty vàng bạc đá quý muốn làm một món đồ trang sức có hình hai khối cầu bằng nhau giao 
nhau như hình vẽ. Khối cầu có bán kính 25cm khoảng cách giữa hai tâm khối cầu là 40cm . Giá 
mạ vàng 21m là 470.000 đồng. Nhà sản xuất muốn mạ vàng xung quanh món đồ trang sức đó. 
Số tiền cần dùng để mạ vàng khối trang sức đó gần nhất với giá trị nào sau đây. 
A. 512.000 đồng. B. 664.000 đồng. C. 612.000 đồng. D. 564.000 đồng. 
Lời giải 
Chọn B 
(Phần màu nhạt là phần giao nhau của hai khối cầu) 
Gọi h là chiều cao của chỏm cầu. Ta có 2 2.25 40 5
2 2
R dh cm 
(d là khoảng cách giữa hai tâm) 
Diện tích xung quanh của chỏm cầu là: 2xqS Rh 
Vì 2 khối cầu bằng nhau nên 2 hình chỏm cầu bằng nhau. 
xqS khối trang sức 2 xqS khối cầu 2 xqS chỏm cầu. 
Khối trang sức có 2 2 2 22.4 2.2 2.4 .25 2.2 .25.5 4500 0.45xqS R Rh cm m 
Vậy số tiền dùng để mạ vàng khối trang sức đó là 470.000.0,45 664.000  đồng. 
20 
Câu 45 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1
3 3 2:
1 2 1
x y zd 
; 
2
5 1 2:
3 2 1
x y zd 
 và mặt phẳng : 2 3 5 0P x y z . Đường thẳng vuông góc với 
 P , cắt 1d và 2d có phương trình là 
A. 2 3 1
1 2 3
x y z . B. 3 3 2
1 2 3
x y z . 
C. 1 1
1 2 3
x y z . D. 1 1
3 2 1
x y z . 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi là đường thẳng cần tìm. Gọi 1M d  ; 2N d  . 
Vì 1M d nên 3 ;3 2 ; 2M t t t , 
vì 2N d nên 5 3 ; 1 2 ;2N s s s . 
 2 3 ; 4 2 2 ;4MN t s t s t s 
 
, P có một vec tơ pháp tuyến là 1;2;3n 
; 
Vì P  nên ,n MN
  
 cùng phương, do đó: 
2 3 4 2 2
1 2
4 2 2 4
2 3
t s t s
t s t s
1
2
s
t
1; 1;0
2;1;3
M
N
 đi qua M và có một vecto chỉ phương là 1;2;3MN 
 
. 
Do đó có phương trình chính tắc là 1 1
1 2 3
x y z . 
Câu 46 Cho hàm số f x liên tục trên tập số thực và có 1 0f . Hàm số f x có đồ thị như hình 
vẽ: 
Hàm số 2( ) 2 1g x f x x đồng biến trên khoảng nào? 
A. 3; . B. 1;2 . C. 0; . D. 0;3 . 
Lời giải 
Chọn D 
+ Ta xét hàm số 2( ) 2 1h x f x x , có 
 ( ) 2 1 2 2 1 1 1h x f x x f x x 
21 
+ Đặt 1u x thì có ( ) 2 1h x f u u 
+ Quan sát đồ thị hàm số y f u và 1y u 
ta suy ra bảng xét dấu 
+ Giải các phương trình 
1 1 0
1 0 1
1 2 3
x x
x x
x x
, 
Ta có bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên dễ thấy hàm số 2( ) 2 1h x f x x và 2( ) 2 1g x f x x cùng 
đồng biến trên 0;3 . 
Câu 47 Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 22 1 2 2 33 log 2 2x x x m x x x m 
có đúng ba nghiệm phân biệt là 
A. 3 . B. 2 . C. 3 . D. 2 . 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có 
2
2
2
2
2 1 2
2 3
2 3
2 2 2
2 22 2 3
3 log 2 2
ln 2 23
ln 2 33
ln 2 3 .3 ln 2 2 .3
x x x m
x x
x x
x m
x mx x
x m
x m
x x
x x x m
Xét ln .3 , 2tf t t t  
 13 ln 3 ln 3 0, 2t tf t t t
t
  
Vậy hàm số f t đồng biến. 
22 
2
2
2
2
2
2 3 2 2
2 3 2 2
2 1 2
1 2 1
4 1 2 2
f x x f x m
x x x m
x x x m
x m
x x m
Điều kiện cần để phương trình có 3 nghiệm là: 
Th1: 1 có nghiệm kép 1
2
m thử lại ta thấy thỏa mãn 
Th2: 2 có nghiệm kép 3
2
m thử lại ta thấy thỏa mãn 
Th3: 1 và 2 có nghiệm chung x m .Thế 1 vào ta có 1m 
Ta có 1 3 1 3
2 2
 . 
Câu 48 Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị 
hàm số 2xy xung quanh trục .Oy Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính 
R thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của 
viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly 3cm (như hình vẽ). Thể tích nước có trong ly gần với 
giá trị nào nhất trong các giá trị sau? 
A. 230 .cm B. 240 .cm C. 250 .cm D. 260 .cm 
Lời giải 
Chọn A 
23 
Xét mặt phẳng đi qua trục của chiếc ly. Gọi  là đường tròn lớn của quả cầu. Ta thấy 
đường tròn  và đồ thị : 2xC y tiếp xúc nhau tại .A Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, ta 
được 2;4 .A 
Tiếp tuyến với C tại A là : 4 ln 2 . 8 ln 2 4.d y x 
Đường thẳng vuông góc với d tại A là 
1 1: . 4.
4 ln 2 2 ln 2
y x 
Tâm I của đường tròn  là giao điểm của và ,Oy ta được 
1 8 ln 20; .
2 ln 2
I
Ta có 12; ,
2 ln 2
IA
suy ra thể tích khối cầu 3 34 . 40,26 .
3khoi cau
V IA cm 
Dung tích chiếc ly là  2 32
1
log dy 69,92 .
By
V y cm 
Thể tích nước chứa trong chiếc ly là 329,66 .nuoc khoi cauV V V cm 
Câu 49 Xét các số phức 1 2 31 , 1 3 , 4z i z i z i và số phức z thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức 
4 5 6, ,z z z mà 5 3 6 14 2
4 3 5 1 6 2
, ,z z z zz z
z z z z z z
 là các số thực, còn 5 64
2 3 3 1 1 2
, ,z z z zz z
z z z z z z
 thuần ảo. Tìm 
giá trị nhỏ nhất của 2 2 24 5 6 .T z z z z z z 
A. 72 .
5
 B. 3. C. 72 .
25
 D. 18 .
25
Lời giải 
Chọn C 
Ta có nhận xét: Nếu có hai số phức ,z z mà z
z 
 thuần ảo thì điểm biểu diễn ,M M của chúng 
sẽ thỏa mãn .OM OM  Còn nếu z
z 
 là số thực thì , ,O M M thẳng hàng. 
Gọi (1;1), (1; 3), (4;1)A B C là các điểm biểu diễn của 1 2 3, ,z z z và M là điểm biểu diễn của .z 
Từ đó, ta thấy nếu gọi , ,H K L là điểm biểu diễn của 4 5 6, ,z z z thì , ,H K L chính là hình chiếu 
của M lên các cạnh , , .BC CA AB Ta cần tìm 2 2 2min( ).MH MK ML Ta có 
2 2 2 2 2 2 2 2( )( ) ( ) 4 ABCa b c MH MK ML aMH bMK cML S nên 
2 2
2 2 2 2 2 2
4 4 6 72 .
3 4 5 25
ABCST
a b c
 
trong đó 5, 3, 4BC a CA b AB c . Đẳng thức xảy ra khi 
2 2 2
MBC MCA MABS S SMH MK ML
a b c a b c
 và M nằm trong tam giác. 
Từ đó dễ thấy M tồn tại nên z cũng tồn tại và min
72 .
25
T 
24 
Câu 50 Cho tam giác ABC có 2;2;3 , 1;3;3 , 1;2;4A B C . Các tia ,Bu Cv vuông góc với mặt phẳng 
 ABC và nằm cùng phía đối với mặt phẳng ấy. Các điểm ,M N di động tương ứng trên các 
tia ,Bu Cv sao cho BM CN MN . Gọi trực tâm H tam giác AMN , biết H nằm trên một 
đường tròn C cố định. Tính bán kính của đường tròn C . 
A. 3 2
8
. B. 3 2
4
. C. 5 2
8
. D. 2 2
3
. 
Lời giải 
Chọn A 
Lấy I trên tia MN sao cho MI BM IN CN . Các tam giác ,MBI NCI cân suy ra 
 180 180 360 ( ) 90
2 2 2
INC IMB INC IMBNIC MIB
  
 . Vậy ta có 
 180 ( ) 90BIC NIC MIB  . Hay I thuộc nửa đường tròn đường kính BC . Ta cũng có 
 90MJN  và , ,AJ BC Bx AJ JM AJ JN   . Vậy .J AMN tam diện vuông nên 
 JH AMN . 
25 
Chứng minh 3 điểm A , H , I thẳng hàng: 
Vì các tam giác IMB , JIB cân tại M và I nên MIB MBI và JIB JBI 
 90MIB JIB MBI JBI MBJ (Vì Bu ABC . 
 90MIJ JI MN  
Mà JH AMN , do đó theo định lí ba đường vuông góc suy ra HI MN . 
Ta có 
HI MN
AH MN
   
 suy ra ba điểm A , H , I thẳng hàng. 
Ta có HI là hình chiếu vuông góc của JI lên mặt phẳng AMN , mà 
Ta nhận thấy tam giác ABC đều cạnh 32
2
a AJ a . 
Ta có ABJ AIJ AB AI a và 
2 3 3 3
4 4 4
AJ a AHAH AH AI
AI AI
  
. Vậy 
H là ảnh của I qua phép vị tự tâm A , tỉ số 3
4
. Ta có bán kính của đường tròn C là 
3 3 2 3 2.
4 4 2 8
R BJ .