Đề hướng dẫn ôn tập thi Tốt nghiệp năm 2021 môn Toán - Đề số 02 (Có đáp án)

1 
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP NĂM 2021 
ĐỀ SỐ 02 
Câu 1: Một lớp học có 25 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học 
sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường? 
A. 42. B. 25 . C.17. D. 425 . 
Câu 2: Cho cấp số nhân nu , biết 1 1u ; 4 64u . Tính công bội q của cấp số nhân. 
A. 21q . B. 4q . C. 4q . D. 2 2q . 
Câu 3: Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới đây: 
Khẳng định nào sau đây là sai? 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . 
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 . 
Câu 4: Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau: 
Điềm cực tiểu của hàm số đã cho là: 
A. 2x . B. 1x . C. 2x . D. 0x . 
Câu 5: Cho hàm số f x bảng xét dấu của 'f x như sau: 
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 
A. 0 . B. 2 . C. 1 . D.3 . 
Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1
2
xy
x
 là đường thẳng 
A. 2x . B. 2x . C. 1y . D. 1y . 
Câu 7: Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 
 1 
 0 0 
2 
A. 4 23 1y x x . B. 3 23 1y x x . C. 3 23 1y x x . D. 4 2 1y x x . 
Câu 8: Biết đường thẳng 2 2y x cắt đồ thị hàm số 3 2y x x tại một điểm duy nhất, kí 
hiệu 0 0;x y . Tìm 0y . 
A. 0 4y . B. 0 0y . C. 0 2y . D. 0 1y . 
Câu 9: Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 2 22 log 3 log 2b a . Khẳng định nào sau đây 
đúng? 
A. 2 3 2b a . B. 2 34b a . C. 2 3 4b a . D. 2 3 4b a . 
Câu 10: Với 0x , đạo hàm của hàm số n 2ly x là: 
A. 1
x
. B. 2
x
. C. 2. ln 2x . D. ln 2x . 
Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý, 3a a bằng 
A. 
3
2 .a B. 
3
4 .a C. 
2
3 .a D. 
4
3 .a 
Câu 12: Nghiệm của phương trình 2 53 27x 
A. 2x . B. 3
2
x . C. 1x . D. 1x . 
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình 22log 2 1x x là 
A. 0 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 1 . 
Câu 14: Cho hàm số 2 1xf x
x
 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
A. ( ) ln 2f x dx x x C . B. ( ) lnf x dx x x C . 
C. ( ) lnf x dx x C . D. ( ) ln 2f x dx x x C . 
Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 3
6
f x x 
. 
A. 1( ) sin 3
3 6
f x dx x C 
 . B. ( ). sin 3 6f x dx x C
 . 
C. 1( ) sin 3
3 6
f x dx x C 
 . D. 
1( ) sin 3
6 6
f x dx x C 
 . 
Câu 16: Biết 
2
1
d 2f x x và 
2
1
d 6g x x , khi đó 
2
1
dxf x g x bằng 
A. 8 . B. 4 . C. 4 . D. 8 . 
Câu 17: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 sin , 3, 1y x y x và 2x được 
tính bởi công thức nào dưới đây? 
A. 
2
1
2 sin 3 dS x x . B. 
2
1
3 2 sin dS x x . 
C. 
2
2
1
3 2 sin dS x x . D. 
2
0
2 sin 3 dS x x . 
Câu 18: Cho số phức 3 2z i . Biết z a ib . Giá trị của 2a b bằng 
A. 1 . B. 7 . C. 1 . D. 7 . 
3 
Câu 19: Cho hai số phức 2z i và 5 3w i . Số phức z w bằng: 
A. 7 2i . B. 7 2i . C. 3 4i . D. 5 4i . 
Câu 20: Trong các số phức z thỏa mãn 1 3 .i z i Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong 
các điểm , , ,M N P Q ở hình bên? 
A. Điểm .P B. Điểm .Q C. Điểm .M D. Điểm .N 
Câu 21: Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng 
A. 
3 3
2
aV . B. 
3 3
4
aV . C. 
3 3
6
aV . D. 33V a . 
Câu 22: Tính thể tích V của khối lập phương .ABCD A B C D , biết ' 2BB m . 
A. 32V m . B. 38V m . C. 38
3
V m . D. 36V m . 
Câu 23: Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là: 
A. V rh . B. 21
3
V r h . C. 2V r h . D. 22V r h . 
Câu 24: Một hình trụ có đường kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 4 . Diện tích xung quanh của hình 
trụ đó là 
A. 48S . B. 12S . C. 30S . D. 24S . 
Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 0; 1; 2A và 2;2;2B . Tọa độ 
trung điểm I của đoạn thẳng AB là 
A. 2;1;0I B. 11; ;0
2
I
 C. 2;3;4I D. 31; ;2
2
I
. 
Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 2 4 6 3 0S x y z x y z . Tâm của S 
có tọa độ là 
A. 2;4; 6 B. 2; 4;6 C. 1; 2;3 D. 1;2; 3 
Câu 27: Trong không gianOxyz , mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm (1; 2;1)M và có véc tơ pháp t
 uyên 1;2;3n là: 
A. 1 : 3 2 0P x y z . B. 2 : 2 3 1 0P x y z . 
C. 3 : 2 3 0P x y z . D. 4 : 2 3 1 0P x y z . 
Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2 3:
5 8 7
x y zd 
. Vectơ nào 
dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? 
 A. 1 1;2; 3u 
 
. B. 2 1; 2;3u 
 
. C. 3 5; 8;7u 
 
. D. 4 7; 8;5u 
 
. 
Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số trong 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn 
bằng 
4 
A. 1. B. 11.
21
 C. 10 .
21
 D. 1 .
2
Câu 30: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên ? 
A. 3 23 2y x x . B. 4
1
xy
x
. 
C. 4 2 1y x x . D. 3 22 2y x x x . 
Câu 31: Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4f x x
x
 trên đoạn  1; 3 bằng. 
A. 52
3
. B. 6 . C. 20 . D. 65
3
. 
Câu 32: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3
4 6log 0x
x
 là 
A. 1 . B. 2 . C. 0 . D.Vô số. 
Câu 33: Cho 
2
0
3f x dx . Tính tích phân 
2
0
3 1I f x dx 
A. 7I . B. 11I . C. 11I . D. 8I . 
Câu 34: Cho số phức z thoả mãn 3 2 3 9 16 .z i i z i Môđun của z bằng 
A. 3. B. 5. C. 5. D. 3. 
Câu 35: Cho tứ diện .S ABC có các cạnh SA , SB ; SC đôi một vuông góc và 1SA SB SC . 
Tính cos , trong đó là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ? 
A. 1cos
2 3
 . B. 1cos
3
 . C. 1cos
2
 . D. 1cos
3 2
 . 
Câu 36: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , 
2AD a . Biết SA ABCD và SA a . Tính khoảng cách giữa AD và SB . 
A. 2
4
a . B. 
2
a . C. 3
3
a . D. 2
2
a . 
Câu 37: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( )S có tâm ( 1;4;2)I và đi qua điểm 1;2;3 .A Khi đó 
phương trình của mặt cầu (S) là: 
A. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 3x y z . B. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 9x y z . 
C. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 3x y z . D. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 9x y z . 
Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của 
đường thẳng đi qua hai điểm 1;0;1A và 3;2; 1B . 
A. 
2
2 ,
2
x t
y t t R
z t
. B. 
3
2 ,
1
x t
y t t R
z t
. C. 
1
,
1
x t
y t t R
z t
. D. 
1
1 ,
1
x t
y t t R
z t
. 
Câu 39: Hàm số y f x liên tục trên có đồ thị y f x như hình vẽ. 
5 
Xét hàm số 3 21 3 3 2021
3 4 2
g x f x x x x . Trong các mệnh đề dưới đây: 
(I) 0 1g g . (II) 
 
3;1
min 1
x
g x g
 . 
(III) Hàm số g x nghịch biến trên 3; 1 . (IV) 
 
 
3;1
max max 3 ; 1
x
g x g g
 . 
Số mệnh đề đúng là 
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 
Câu 40: Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình 1 115.2 1 2 1 2x x x bằng bao 
nhiêu? 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Câu 41: Cho hàm số 
2
2
1 2
2 3 2
x khi xf x
x x khi x
. Tích phân 
2
0
2 cos2 1 sin 2 df x x x
 bằng 
A. 43
3
. B. 43
12
. C. 14
12
. D. 14
3
. 
Câu 42: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 3 3 2z i và 22z i là số thuần thực? 
A. 1 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . 
Câu 43: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết AB a ,
2 2AD BC a , ( )SA ABCD và SD tạo với đáy một góc 30 . Thể tích khối chóp 
.S ABCD bằng 
A. 
3
2
a . B. 3 3a . C. 
3 3
3
a . D. 32 3a . 
Câu 44: Người ta muốn xây một đoạn đường AB (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm 
M Biết rằng vị trí điểm M cách OD 125m và cách OE 1km . Giả sử chi phí để làm 100m 
đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp 
nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu? 
A. 2,0963 tỷ đồng. B. 1,9063 tỷ đồng. C. 2,3965 tỷ đồng. D. 3,0021 tỷ đồng. 
6 
Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho điểm 3;3; 3A thuộc mặt phẳng 2 – 2 1 0: 5x y z và 
mặt cầu 2 2 2: (x 2) (y 3) (z 5) 100S . Đường thẳng qua A , nằm trên mặt phẳng 
 cắt ( )S tại A ,B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là 
A. 3 3 3
1 4 6
x y z . B. 3 3 3
16 11 10
x y z 
. 
C. 
3 5
3
3 8
x t
y
z t
. D. 3 3 3
1 1 3
x y z . 
Câu 46: Cho hàm số đa thức f x có đạo hàm trên . Biết 2 0f và đồ thị của hàm số 
 y f x như hình vẽ 
Hàm số 24 4y f x x có bao nhiêu cực tiểu? 
A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . 
Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 2020;2020m để 
log log2a - b log 1a bb a am b với ,a b là các số thực lớn hơn 1? 
A. vô số. B. 2020. C. 2019 . D. 1 . 
Câu 48: Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục tung và trục hoành. Gọi , 
 là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm và chia làm ba 
phần có diện tích bằng nhau. Tính . 
A. 13
2
. B. 7 . C. 25
4
. D. 27
4
. 
Câu 49: Cho số phức 1z và 2z là hai nghiệm của phương trình: 6 3 2 6 9i iz z i , thỏa mãn: 
1 2 2z z . Giá trị của biểu thức: 1 2P z z tương ứng bằng 
A. 6 . B. 5 . C. 26 . D. 10 . 
Câu 50: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 0;1;2A và 3;1;3B thoả mãn AB BC
; ;AB AD AD BC  . Gọi ( )S là mặt cầu có đường kính AB , đường thẳng CD di động và 
luôn tiếp xúc với mặt cầu ( )S . Gọi ,E AB F CD và EF là đoạn vuông góc chung của AB
và CD . Biết rằng đường thẳng là tiếp tuyến của mặt cầu S và thỏa mãn 
( ) ;( )EF AB   và ; 3d A . Khoảng cách giữa và CD lớn nhất bằng 
A. 3 2
2
 . B. 2 . C. 3 3
2
 . D. 3 . 
 H 23y x 1k
2k 1 2k k 0;9A H
1 2k k 
7 
Hướng dẫn giải 
Câu 1 Một lớp học có 25 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học 
sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường? 
A. 42. B. 25 . C.17. D. 425 . 
Lời giải 
Chọn D 
 Áp dụng quy tắc nhân: Số cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học 
này đi dự trại hè của trường là 25.17 425. 
Câu 2 Cho cấp số nhân nu , biết 1 1u ; 4 64u . Tính công bội q của cấp số nhân. 
A. 21q . B. 4q . C. 4q . D. 2 2q . 
Lời giải 
Chọn C 
 Theo công thức tổng quát của cấp số nhân 34 1u u q 
364 1.q 4q . 
Câu 3 Cho hàm số y f x liên tục trên và có bảng biến thiên như hình dưới đây: 
Khẳng định nào sau đây là sai? 
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . 
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 . 
Lời giải 
Chọn D 
 Từ bảng biến thiên ta thấy kết luận hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 là kết luận SAI 
Câu 4 Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau: 
Điềm cực tiểu của hàm số đã cho là: 
A. 2x . B. 1x . C. 2x . D. 0x . 
Lời giải 
Chọn B 
 Vì ( )f x đổi dấu từ sang khi hàm số qua 1x nên 1.CTx 
Câu 5 Cho hàm số f x bảng xét dấu của 'f x như sau: 
 1 
 0 0 
8 
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 
A. 0 . B. 2 . C. 1 . D.3 . 
Lời giải 
Chọn B 
Dựa vào bảng xét dấu 'f x ta thấy 'f x đổi dấu qua 2 điểm Hàm số y f x có 2 điểm 
cực trị. 
Câu 6 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1
2
xy
x
 là đường thẳng 
A. 2x . B. 2x . C. 1y . D. 1y . 
Lời giải 
Chọn B 
Hàm số liên tục trên từng khoảng ; 2 và 2; . 
2
1lim
2x
x
x 
 nên đường thẳng 2x là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. 
Câu 7 Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào? 
A. 4 23 1y x x . B. 3 23 1y x x . C. 3 23 1y x x . D. 4 2 1y x x . 
Lời giải 
Chọn C 
Đồ thị trong hình vẽ là của hàm số bậc ba với lim
x
y
 nên hệ số 0a . 
Loại phương án A, B, D. 
Vậy chọn đáp án 3 3 1y x x . 
Câu 8 Biết đường thẳng 2 2y x cắt đồ thị hàm số 3 2y x x tại một điểm duy nhất, kí 
hiệu 0 0;x y . Tìm 0y . 
A. 0 4y . B. 0 0y . C. 0 2y . D. 0 1y . 
Lời giải 
Chọn C 
Xét phương trình hoành độ giao điểm: 3 32 2 2 3 0 0x x x x x x . 
Vậy 0 00 2x y . 
Câu 9 Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 2 22 log 3log 2b a . Khẳng định nào sau đây 
đúng? 
A. 2 3 2b a . B. 2 34b a . C. 2 3 4b a . D. 2 3 4b a . 
1
2
xy
x
9 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có: 
2 2
2 3 2 3
2 2 2 2 2 3 32 log 3 log 2 log log 2 log 2 4 4
b bb a b a b a
a a
 . 
Câu 10 Với 0x , đạo hàm của hàm số n 2ly x là: 
A. 1
x
. B. 2
x
. C. 2. ln 2x . D. ln 2x . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có: 2n 2 1l
2
x
y
x x
x
 . 
Câu 11 Với a là số thực dương tùy ý, 3a a bằng 
A. 
3
2 .a B. 
3
4 .a C. 
2
3 .a D. 
4
3 .a 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có:
1 4
3 3 3.a a a a a . 
Câu 12 Nghiệm của phương trình 2 53 27x 
A. 2x . B. 3
2
x . C. 1x . D. 1x . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có: 2 53 27 2 5 3 1x x x 
Câu 13 Tập nghiệm của phương trình 22log 2 1x x là 
A. 0 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 1 . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có: 22log 2 1x x 2 2 2x x 01
x
x
. 
Câu 14 Cho hàm số 2 1xf x
x
 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
A. ( ) ln 2f x dx x x C . B. ( ) lnf x dx x x C . 
C. ( ) lnf x dx x C . D. ( ) ln 2f x dx x x C . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có 2 1 12 2 lnx dx dx dx x x C
x x
 . 
Câu 15 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 3
6
f x x 
. 
A. 1( ) sin 3
3 6
f x dx x C 
 . B. ( ). sin 3 6f x dx x C
 . 
10 
C. 1( ) sin 3
3 6
f x dx x C 
 . D. 
1( ) sin 3
6 6
f x dx x C 
 . 
Lời giải 
Chọn A 
1 1( ) cos 3 3 sin 3
3 6 6 3 6
f x dx x d x x C 
Câu 16 Biết 
2
1
d 2f x x và 
2
1
d 6g x x , khi đó 
2
1
dxf x g x bằng 
A. 8 . B. 4 . C. 4 . D. 8 . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có: 
2 2 2
1 1 1
d d d 2 6 4f x g x x f x x g x x . 
Câu 17 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 sin , 3, 1y x y x và 2x được 
tính bởi công thức nào dưới đây? 
A. 
2
1
2 sin 3 dS x x . B. 
2
1
3 2 sin dS x x . 
C. 
2
2
1
3 2 sin dS x x . D. 
2
0
2 sin 3 dS x x . 
Lời giải 
Chọn B 
Diện tích S của hình phẳng là: 
2
0
2 sin 3 dS x x . 
Câu 18 Cho số phức 3 2z i . Biết z a ib . Giá trị của 2a b bằng 
A. 1 . B. 7 . C. 1 . D. 7 . 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có 3 2 3, 2 2 1z i a a b 
Câu 19 Cho hai số phức 2z i và 5 3w i . Số phức z w bằng: 
A. 7 2i . B. 7 2i . C. 3 4i . D. 5 4i . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có: 2 5 3 7 2z w i i i . 
Câu 20 Trong các số phức z thỏa mãn 1 3 .i z i Điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong 
các điểm , , ,M N P Q ở hình bên? 
11 
A. Điểm .P B. Điểm .Q C. Điểm .M D. Điểm .N 
Lời giải 
Chọn B 
Từ phương trình 31 3 1 2 .
1
ii z i z i
i
Suy ra điểm biểu diễn của số phức z là 1; 2 . 
Vậy dựa vào hình vẽ chọn điểm .Q 
Câu 21 Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng 
A. 
3 3
2
aV . B. 
3 3
4
aV . C. 
3 3
6
aV . D. 33V a . 
Lời giải 
Chọn B 
Diện tích đáy là: 
2 3
4
aS . 
Thể tích khối lăng trụ là: 
2 33 3.
4 4
a aV a . 
Câu 22 Tính thể tích V của khối lập phương .ABCD A B C D , biết ' 2BB m . 
A. 32V m . B. 38V m . C. 38
3
V m . D. 36V m . 
Lời giải 
Chọn B 
Thể tích khối lập phương: 3 32 8V m . 
Câu 23 Công thức tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy r và chiều cao h là: 
A. V rh . B. 21
3
V r h . C. 2V r h . D. 22V r h . 
Lời giải 
Chọn C 
Thể tích của khối trụ 2V r h 
Câu 24 Một hình trụ có đường kính đáy bằng 6 và chiều cao bằng 4 . Diện tích xung quanh của hình 
trụ đó là 
A. 48S . B. 12S . C. 30S . D. 24S . 
Lời giải 
Chọn D 
Ta có: Đường kính đáy bằng 6 , nên bán kính đáy bằng 3 . 
4l h 
2 2 .3.4 24S rl . 
12 
Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm 0; 1; 2A và 2;2;2B . Tọa độ 
trung điểm I của đoạn thẳng AB là 
A. 2;1;0I B. 11; ;0
2
I
 C. 2;3;4I D. 31; ;2
2
I
. 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có tọa độ điểm I được tính bởi công thức 
0 2 1
2 2
1 2 1
2 2 2
2 2 0
2 2
A B
I
A B
I
A B
I
x xx
y yy
z zz
. 
Vậy 11; ;0
2
I
. 
Câu 26 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 2 4 6 3 0S x y z x y z . Tâm của S 
có tọa độ là 
A. 2;4; 6 B. 2; 4;6 C. 1; 2;3 D. 1;2; 3 
Lời giải 
Chọn C 
 Mặt cầu 2 2 2: 2 2 2 0S x y z ax by cz d có tâm là ; ;I a b c 
Suy ra, mặt cầu 2 2 2: 2 4 6 3 0S x y z x y z có tâm là 1; 2;3I . 
Câu 27 Trong không gianOxyz , mặt phẳng nào dưới đây đi qua điểm (1; 2;1)M và có véc tơ pháp t
 uyên 1;2;3n là: 
A. 1 : 3 2 0P x y z . B. 2 : 2 3 1 0P x y z . 
C. 3 : 2 3 0P x y z . D. 4 : 2 3 1 0P x y z . 
Lời giải 
Chọn C 
 Phương trình tổng quát mặt phẳng: 
 0 1 1 2 2 3 1 0 2 3z 0a x x b y y c z z x y z x y   
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2 3:
5 8 7
x y zd 
. Vectơ nào 
dưới đây là một vectơ chỉ phương của d ? 
 A. 1 1;2; 3u 
 
. B. 2 1; 2;3u 
 
. C. 3 5; 8;7u 
 
. D. 4 7; 8;5u 
 
. 
Lời giải 
Chọn C 
  Dựa vào công thức chính tắc của phương trình đường thẳng, vecto chỉ phương nằm phía bê 
dưới phương trình. Suy ra câu C. 
Câu 29 Chọn ngẫu nhiên một số trong 21 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số chẵn 
bằng 
A. 1. B. 11.
21
 C. 10 .
21
 D. 1 .
2
13 
Lời giải 
Chọn B 
 Chọn ngẫu nhiên một số trong 21 số nguyên dương đầu tiên 21n  . 
 Chọn được 1 số chẵn: có 10 cách chọn. 
 Vậy xác suất cần tìm là 10
21
P . 
Câu 30 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên ? 
A. 3 23 2y x x . B. 4
1
xy
x
. 
C. 4 2 1y x x . D. 3 22 2y x x x . 
Lời giải 
Chọn D 
Loại phương án B vì hàm số có TXĐ là \ 1 
Xét phương án A: 
Ta có: 23 6y x x ; 
0
' 0
2
x
y
x
 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng 
 ;0 , 0; . Do đó loại phương án A. 
Xét phương án C: 
Ta có: 34 2y x x ; 
0
' 0 2
2
x
y
x
 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng 
2 2;0 , ;
2 2
. Do đó loại phương án C. 
Xét phương án D: 
Ta có: 26 2 1 0y x x x  nên hàm số nghịch biến trên . Do đó chọn phương 
án D. 
Câu 31 Tích của giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 4f x x
x
 trên đoạn  1; 3 bằng. 
A. 52
3
. B. 6 . C. 20 . D. 65
3
. 
Lời giải 
Chọn C 
Tập xác định: \ 0D . 
 
 
2
2
2 2
2 1; 34 4' 1 ; 0 4 0
2 1; 3
xxy y x
x x x
Ta có: 131 5; 2 4; 3 .
3
f f f 
Vậy 
   1;31;3
max 5; min 4y y 
   1;31;3
max .min 20y y 
Câu 32 Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3
4 6log 0x
x
 là 
A. 1 . B. 2 . C. 0 . D.Vô số. 
14 
Lời giải 
Chọn A 
Điều kiện 4 6 0x
x
3
2
0
x
x
. 
Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương 4 6 1x
x
 3 6 0x
x
 2 0x . 
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm 32;
2
S
. 
Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 1. 
Câu 33 Cho 
2
0
3f x dx . Tính tích phân 
2
0
3 1I f x dx 
A. 7I . B. 11I . C. 11I . D. 8I . 
Lời giải 
Chọn B 
Ta có 
2 2 2
2
0
0 0 0
3 1 3 3.3 11I f x dx f x dx dx x 
Câu 34 Cho số phức z thoả mãn 3 2 3 9 16 .z i i z i Môđun của z bằng 
A. 3. B. 5. C. 5. D. 3. 
Lời giải 
Chọn B 
Đặt ;z a bi a b . 
Theo đề ta có 
 3 2 3 9 16a bi i i a bi i 3 3 3 2 2 3 3 9 16a bi i a bi ai b i 
 3 3 3 5 3 9 16a b a b i i 3 3 9 1
3 5 3 16 2
a b a
a b b
. 
Vậy 2 21 2 5z . 
Câu 35 Cho tứ diện .S ABC có các cạnh SA , SB ; SC đôi một vuông góc và 1SA SB SC . 
Tính cos , trong đó là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC ? 
A. 1cos
2 3
 . B. 1cos
3
 . C. 1cos
2
 . D. 1cos
3 2
 . 
Lời giải 
Chọn B 
15 
Gọi D là trung điểm cạnh BC . 
Ta có SA SB SA SBC
SA SC
    
SA BC  . 
Mà SD BC nên BC SAD . 
 ,SBC ABC SDA . 
 Khi đó tam giác SAD vuông tại S có 1
2
SD ; 3
2
AD và cos SD
AD
 1cos
3
 . 
Câu 36 Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB BC a , 
2AD a . Biết SA ABCD và SA a . Tính khoảng cách giữa AD và SB . 
A. 2
4
a . B. 
2
a . C. 3
3
a . D. 2
2
a . 
Lời giải 
Chọn D 
Trong SAB dựng AH SB tại H . 
Vì 
AD SA
AD AB
   
 AD SAB  AD AH  . 
Khi đó ,d AD SB AH . 
S
A
B
C
D
16 
Xét tam giác SAB vuông tại A có 
2 2
. 2
2
SA AB aAH
SA AB
. 
Câu 37 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( )S có tâm ( 1;4;2)I và đi qua điểm 1;2;3 .A Khi đó 
phương trình của mặt cầu (S) là: 
A. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 3x y z . B. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 9x y z . 
C. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 3x y z . D. 2 2 2( 1) ( 4) ( 2) 9x y z . 
Lời giải 
Chọn B 
Mặt cầu ( )S có tâm ( 1;4;2)I và đi qua điểm 1;2;3 3A R IA 
Vậy phương trình mặt cầu: 2 2 2: ( 1) ( 4) ( 2) 9S x y z . 
Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của 
đường thẳng đi qua hai điểm 1;0;1A và 3;2; 1B . 
A. 
2
2 ,
2
x t
y t t R
z t
. B. 
3
2 ,
1
x t
y t t R
z t
. C. 
1
,
1
x t
y t t R
z t
. D. 
1
1 ,
1
x t
y t t R
z t
. 
Lời giải 
Chọn C 
Ta có 2;2; 2AB 
 
 1; 1;1u là một VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm 
 1;0;1A và 3;2; 1B . 
Vậy đường thẳng 
đi qua 1;
1
0;1
VTCP
:
;1 ; 1
A
A
B
u
 có phương trình là 
1
,
1
x t
y t t R
z t
. 
Câu 39 Hàm số y f x liên tục trên có đồ thị y f x như hình vẽ. 
Xét hàm số 3 21 3 3 2021
3 4 2
g x f x x x x . Trong các mệnh đề dưới đây: 
(I) 0 1g g . 
(II) 
 
3;1
min 1
x
g x g
 . 
(III) Hàm số g x nghịch biến trên 3; 1 . 
(IV) 
 
 
3;1
max max 3 ; 1
x
g x g g
 . 
Số mệnh đề đúng là 
17 
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. 
Lời giải 
Ta có 2 3 3
2 2
g x f x x x
 . 
Trên mặt phẳng toạ độ đã có đồ thị hàm số f x ta vẽ thêm đồ thị hàm số 2 3 3
2 2
y x x . 
Dựa vào đồ thị hàm số ta có 
Khi 3; 1x thì 2 3 3
2 2
f x x x , khi 1;1x thì 2 3 3
2 2
f x x x . 
Do đó ta có bảng biến thiên của hàm số y g x trên đoạn  3;1 như sau 
Dựa vào bảng biến thiên ta có: 
Vì trên  0;1 hàm số g x đồng biến nên 0 1g g , do đó (I) đúng. 
Từ BBT ta có 
 
3;1
min 1g x g
 , do đó (II) đúng. 
Từ BBT ta thấy (III) đúng. 
 
 
3;1
max max 3 ; 1g x g g
 . 
Câu 40 Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình 1 115.2 1 2 1 2x x x bằng bao 
nhiêu? 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Lời giải 
Chọn D 
Đặt 2 1xt (do 0x ) bất phương trình trở thành: 30 1 1 2t t t . 
230 1 3 1 30 1 9 6 1 0 4t t t t t t 
0 2x . Suy ra có 3 nghiệm nguyên không âm của BPT. 
Câu 41 Cho hàm số 
2
2
1 2
2 3 2
x khi x
f x
x x khi x
. Tích phân 
2
0
2 cos 2 1 sin 2 df x x x
 bằng 
A. 43
3
. B. 43
12
. C. 14
12
. D. 14
3
. 
18 
Lời giải 
Chọn B 
Đặt 2 cos2 1 d 4 sin 2 dt x t x x . 
Đổi cận 0 3; 1
2
x t x t . 
Tích phân trở thành: 
1 3 2 3
3 1 1 2
1 1 1d d d d
4 4 4
I f t t f t t f t t f t t
2 3
2 2
1 2
1 2 3 d 1 d
4
t t t t t
1 16 439
4 3 12
. 
Câu 42 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 1 3 3 2z i và 22z i là số thuần thực? 
A. 1 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . 
Lời giải 
Chọn D 
Giả sử z x yi ,x y . 
Khi đó 2 21 3 3 2 1 3 18 1z i x y . 
 22 222 2 2 2 2z i x y i x y x y i . 
Theo giả thiết ta có 02 2 0
2
x
x y
y
. 
Với 0x thay vào 1 ta được phương trình 
12 22
1
3 173 17
1 3 18 3 17
3 17 3 17
z iy
y y
y z i
. 
Với 2y thay vào 1 ta được phương trình 2 2 21 2 3 18 1 7x x vô 
nghiệm. 
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Câu 43 Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết AB a ,
2 2AD BC a , ( )SA ABCD và SD tạo với đáy một góc 30 . Thể tích khối chóp 
.S ABCD bằng 
A. 
3
2
a . B. 3 3a . C. 
3 3
3
a . D. 32 3a . 
Lời giải 
Chọn C 
19 
Vì ( )SA ABCD nên góc giữa SD và mặt phẳng đáy là góc 30SDA  . 
Xét tam giác vuông SAD vuông tại A ta có: 2 3tan .tan 30
3
SA aD SA AD
AD
  . 
Thể tích khối chóp .S ABCD là 1 .
3 ABCD
V S SA . 
 1 1. . .
3 2
V AD BC AB SA 
31 2 3 3. 2 .
6 3 3
a aa a a . 
Câu 44 Người ta muốn xây một đoạn đường AB (như hình vẽ) và đoạn đường này phải đi qua điểm 
M Biết rằng vị trí điểm M cách OD 125m và cách OE 1km . Giả sử chi phí để làm 100m 
đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp 
nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành được con đường là bao nhiêu? 
A. 2,0963 tỷ đồng. B. 1,9063 tỷ đồng. C. 2,3965 tỷ đồng. D. 3,0021 tỷ đồng. 
Lời giải 
Chọn A 
Đề hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn ,A B sao cho đoạn thẳng AB là bé 
nhất. Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm ,A B và tìm giá trị nhỏ nhất. 
Chọn hệ toạ độ xOy như hình dưới đây với OD nằm trên tia Oy . Khi đó điểm 1 ;1
8
M
. 
a
a
2a
B C
A D
S
20 
Gọi ;0 , 0; , 0B m A n m n . Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là 1x y
m n
 . 
Do đường thẳng đi qua 1 ;1
8
M
 nên 1 1 1 1 8 1 81 1
8 8 8 8 1
m mn
m n n m m m
. 
Có 2 2 2 2 8
8 1
mAB m n m f m
m
. Xét hàm số f m , ta có : 
2 3
2
0
8 8 642 2. . 2 . 1 ; 0 641 08 1 8 1 8 1 8 1
m loai
mf m m m f m
m m m m
 3 58 1 64
8
m m 
2
2
58.5 5 25 25 125 125 5 58
58 8 64 16 64 64 88. 1
8
f m f AB
. 
Vậy quãng đường ngắn nhất là 5 5
8
km 
Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng 1,5 tỷ đồng nên khi đó chi phí thấp nhất để hoàn 
thành con đường là 5 5 .1,5 2,0963
8
 (tỷ đồng). 
Câu 45 Trong không gian Oxyz , cho điểm 3;3; 3A thuộc mặt phẳng 2 – 2 1 0: 5x y z và 
mặt cầu 2 2 2: (x 2) (y 3) (z 5) 100S . Đường thẳng qua A , nằm trên mặt phẳng 
 cắt ( )S tại A ,B . Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng là 
A. 3 3 3
1 4 6
x y z . B. 3 3 3
16 11 10
x y z 
. 
C. 
3 5
3
3 8
x t
y
z t
. D. 3 3 3
1 1 3
x y z . 
Lời giải 
Chọn A 
Mặt cầu S có tâm 2;3;5I , bán kính 10R . Do (I,( )) Rd nên luôn cắt S tại A , 
B . 
21 
Khi đó 22 (I, )AB R d . Do đó, AB lớn nhất thì ,d I nhỏ nhất nên qua H , 
với H là hình chiếu vuông góc của I lên . Phương trình 
x 2 2t
y 3 2
z 5
:
t
BH t
 ( ) 2 2 2 2 3 – 2 5 15 0H t t t 2; 72 ;t 3H . 
Do vậy AH (1;4;6) 
 
 là véc tơ chỉ phương của . Phương trình của 3 3 3
1 4 6
x y z . 
Câu 46 Cho hàm số đa thức f x có đạo hàm trên . Biết 2 0f và đồ thị của hàm số 
 y f x như hình vẽ 
Hàm số 24 4y f x x có bao nhiêu cực tiểu? 
A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . 
Lời giải 
Chọn A 
 Xét 24 4h x f x x . Ta có: 4 2 4
2
xh x f x x f x
. 
2
0 0
2
4
x
xh x f x x
x
. 
 22 4 2 2 4 0h f 
22 
Nhận thấy 
2 4
1 2
0 0
d d 2 0 4 0S S h x x h x x h h h h
 4 2 4 0h h h 
 Vậy hàm số y h x có 3 điểm cực tiểu. 
Câu 47 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 2020;2020m để 
log log2a - b log 1a bb a am b với ,a b là các số thực lớn hơn 1? 
A. vô số. B. 2020. C. 2019 . D. 1 . 
Lời giải 
Chọn B 
Đặt logat b vì , 1;a b nên 0.t Suy ra 
2
.1log
t
b
b a
a
t
Bất phương trình trở thành 2
1
2 1 1t t tta a mt a mt . Để bất phương trình 
log log2a - b log 1a bb a am b đúng với ,a b là các số thực lớn hơn 1 thì 
1tam
t
 với mọi 
0t . 
Xét hàm 1
taf t
t
 trên 0; . Ta có 2
ln 1.
t tta a af t
t
• ln 1t tg t ta a a trên  0; . Đạo hàm 2ln 0, 0.tg t ta a t  
• Suy ra g t đồng biến trên  0; nên 0 0, 0.g t g t  
Suy ra 0, 0.f t t  Suy ra hàm số f t đồng biến trên 0; . 
Ta có bảng biến thiên sau 
 Từ bảng biến thiên suy ra lnm a . Do đúng với mọi 1a và m là số nguyên thuộc 
( 2020;2020) nên 2019; 2018;...0m . 
Câu 48 Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục tung và trục hoành. Gọi , 
 là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm và chia làm ba 
phần có diện tích bằng nhau. Tính . 
A. 13
2
. B. 7 . C. 25
4
. D. 27
4
. 
Lời giải 
Chọn D 
 H 23y x 1k
2k 1 2k k 0;9A H
1 2k k 
23 
Gọi , . 
Gọi ; 
Giao điểm của với hai trục tọa độ lần lượt là , . 
Theo giả thiết ta có . 
Lại có . 
Suy ra . 
Câu 49 Cho số phức 1z và 2z là hai nghiệm của phương trình: 6 3 2 6 9i iz z i , thỏa mãn: 
1 2 2z z . Giá trị của biểu thức: 1 2P z z tương ứng bằng 
A. 6 . B. 5 . C. 26 . D. 10 . 
Lời giải 
Chọn D 
Trước hết ta tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết: 
 6 3 2 6 9 . 3 6 2 6 9 3 6 2 6 9 1i iz z i i z i z i z i z i . 
Đặt z x iy thay vào (1) ta được: 
 2 2 2 23 6 2 6 9 3 6 2 6 2 9x iy i x iy i x y x y . 
 2 23 4 1x y . 
Như vậy điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C): 2 2 03 4 1x y z z R . 
Trong đó: 0 3 4z i và 1R . Điểm I biểu diễn số phức 0 3 4z i . 
Gọi A là điểm biểu diễn số phức 1z và B là điểm biểu diễn số phức 2z khi đó ta có: 
1 21; 2 2IA IB R AB z z R . Suy ra AB là một đường kính của đường tròn (C). 
Khi đó ta có I là trung điểm của AB tức là: 1 2 02 6 8z z z i . 
1 1: 9d y k x 2 2: 9d y k x 1 2k k 
1
1
9 ;0M d Ox M
k
  
2
2
9 ;0N d Ox N
k
  
 2 1
9 9
k k
 2: 3P y x 3;0C 0;9A
2 1
1 2
9 182O 2AON ANMS S OM N k kk k 
3
2
2
20
1 243 273S 3 d 3. . . 9
2 2 2AONH
S x x OAON k
k 
1
27
4
k 1 2
27
4
k k 
24 
Suy ra: 1 2 10P z z . 
Câu 50 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 0;1;2A và 3;1;3B thoả mãn AB BC
; ;AB AD AD BC  . Gọi ( )S là mặt cầu có đường kính AB , đường thẳng CD di động và 
luôn tiếp xúc với mặt cầu ( )S . Gọi ,E AB F CD và EF là đoạn vuông góc chung của AB
và CD . Biết rằng đường thẳng là tiếp tuyến của mặt cầu S và thỏa mãn 
( ) ;( )EF AB   và ; 3d A . Khoảng cách giữa và CD lớn nhất bằng 
A. 3 2
2
 . B. 2 . C. 3 3
2
 . D. 3 . 
Lời giải 
GVSB: Trần Minh Quang; GVPB: Bùi Văn Cảnh 
Chọn A 
 0;1;2A và 3;1;3B suy ra 3;0;1 2AB AB  
 Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh 2AB và mặt cầu ( )S có bán kính bằng 
EF tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi F là trung điểm CD thì suy ra CD 
luôn tiếp xúc với mặt cầu ( )S 
Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được ; 3d A AM a với M thuộc đường tròn thiết diện 
qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa CD và khoảng cách giữa và CD bằng MF 
với MF vuông góc mặt phẳng chứa CD 
Suy ra khoảng cách giữa và CD lớn nhất bằng MF MJ JF như hình vẽ trên 
Từ đây ta có: 22 22 2 22 2 3 1MB AB MA R MA 
Xét AMB vuông tại M có MJ AB nên ta có: 2 2 2
1 1 1
MJ MA MB
 (hệ thức lượng) 
Suy ra 
2 2
. 3 2; 1
2 2 2
MAMB ABMJ JF
MA MB
; 
Như vậy ta suy ra ra khoảng cách giữa và CD lớn nhất bằng 
3 3 21
2 2
MF MJ JF 
25