Đề cương ôn tập Toán Lớp 11 - Chủ đề: Giới hạn của hàm số+ Hàm số liên tục

CHỦ ĐỀ: 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ + HÀM SỐ LIÊN TỤC 
I. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
1
lim 0
n n 
 ; 
1
lim 0 ( )
kn
k
n
 lim 0 ( 1)n
n
q q
 ; lim
n
C C
2. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 
 S = u1 + u1q + u1q
2 +  = 1
1
u
q 
 1q 
1. Giới hạn đặc biệt: 
 lim n lim ( )kn k 
 lim ( 1)nq q 
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ: 
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 
1. Giới hạn đặc biệt: 
0
0lim
x x
x x
 ; 
0
lim
x x
c c
 (c: hằng số) 
2. Giới hạn một bên: 
0
lim ( )
x x
f x L
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
Giới hạn đặc biệt: 
 lim k
x
x
 ; lim k
x
nếu k chẵn
x
nếu k lẻ 
 lim
x
c c
 ; lim 0
kx
c
x 
0
1
lim
x x 
 ; 
0
1
lim
x x 
Một số phương pháp khử dạng vơ định: 
1. Dạng 
0
0
 a) L = 
0
( )
lim
( )x x
P x
Q x 
 với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 
 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 
 VD: 
3 2 2
22 2 2
8 ( 2)( 2 4) 2 4 12
lim lim lim 3
( 2)( 2) 2 44x x x
x x x x x x
x x xx 
 b) L = 
0
( )
lim
( )x x
P x
Q x 
 với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc 
 Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. 
 VD: 
 0 0 0
2 4 2 4 2 4 1 1
lim lim lim
42 42 4x x x
x x x
x xx x 
2. Dạng 
: L = 
( )
lim
( )x
P x
Q x 
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. 
 – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 
 – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng 
liên hợp. 
 VD: a) 
2 2
2
2
5 3
2
2 5 3
lim lim 2
6 36 3 1
x x
x x x x
x x
x x
 b) 
2
2
3
2
2 3
lim lim 1
11 1 1
x x
x x
x x
x
3. Dạng – : Giới hạn này thường cĩ chứa căn 
 Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 
 VD: 
 1 1 1
lim 1 lim lim 0
1 1x x x
x x x x
x x
x x x x 
4. Dạng 0. : 
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 
III. HÀM SỐ LIÊN TỤC 
Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: 
 B1: Tính f(x0). 
 B2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x
 (trong nhiều trường hợp ta cần tính 
0
lim ( )
x x
f x
, 
0
lim ( )
x x
f x
) 
 B3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x
 với f(x0) và rút ra kết luận. 
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ. 
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và 
 lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
Mức độ 1: 
Câu 1: Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 
0
0lim .
x x
x x
 B. 
0
lim .
x x
x x
 C. 
0
lim 0.
x x
x
 D. 
0
lim 1.
x x
x
Câu 2: Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 
0
lim 0.
x x
c
 ( c hằng số ) B. 
0
lim .
x x
c c
 ( c hằng số ) 
C. 
0
lim .
x x
c x
 ( c hằng số ) D. 
0
0lim .
x x
c x
 ( c hằng số ) 
Câu 3: Cho 
0
lim 2
x x
f x
 và 
0
lim 5
x x
g x
 . Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 
0
lim 2
x x
f x g x
 B. 
0
lim 2
x x
f x g x
C. 
0
lim 3
x x
f x g x
 D. 
0
lim 3
x x
f x g x
Câu 4: Cho 
0
lim 2
x x
f x
 và 
0
lim 5
x x
g x
 . Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 
0
lim 4
x x
f x g x
 B. 
0
lim 5
x x
f x g x
C. 
0
lim 6
x x
f x g x
 D. 
0
lim 7
x x
f x g x
Câu 5: Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 
3
1
lim 1.
x x 
 B. 
3
1
lim 0.
x x 
 C. 
3
1
lim .
x x 
 D. 
3
1
lim .
x x 
Câu 6: Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 2lim .
x
x
 B. 2lim .
x
x
 C. 2lim 0
x
x
 D. 2lim 1.
x
x
Câu 7: Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 2lim .
x
x
 B. 2lim .
x
x
 C. 2lim 0
x
x
 D. 2lim 1.
x
x
Câu 8: Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. 3lim .
x
x
 B. 3lim .
x
x
 C. 3lim 0
x
x
 D. 3lim 1.
x
x
Câu 9: Hàm số nào sau đây liên tục trên ? 
A. 3 3 1.y x x B. 
1
.
2
x
y
x
 C. 
2 1
.
1
x x
y
x
 D. 2.y x 
Câu 10: Mệnh đề nào sao đây đúng? 
A. Hàm số 2y x liên tục tại 1.x 
B. Hàm số 
2 1
1
x x
y
x
 liên tục tại 1.x 
C. Hàm số 
2
2
1
1
x x
y
x
 liên tục tại 1.x 
D. Hàm số 2y x liên tục tại 1.x 
Mức độ 2: 
Câu 11: 2
2
lim 2 3
x
x x
 bằng 
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 
Câu 12: 
2
1
2 5
lim
1x
x x
x 
 bằng 
A. 1. B. 0. C. 1. D. 2. 
Câu 13: 
2
3
4 3
lim
3x
x x
x 
 bằng 
A. 6. B. 5. C. 3. D. 2. 
Câu 14: 
2
22
6
lim
4x
x x
x 
 bằng 
A. 
5
.
4
 B. 
5
.
3
 C. 
5
.
4
 D. 
5
.
3
Câu 15: 
2
2
3 2
lim
1x
x x
x 
 bằng 
A. 2. B. 3. C. 4. D. . 
Câu 16: 
2
1
lim
3 2x
x
x x 
 bằng 
B. 2. B. 1. C. 4. D. 0. 
Câu 17: 
3
2
1
lim
2x
x x
x x 
 bằng 
A. 1. B. 1. C. . D. . 
Câu 18: 2lim 2
x
x x
 bằng 
A. 0. B. 1. C. . D. . 
Câu 19: 2lim 2
x
x x
 bằng 
A. 0. B. 1. C. . D. . 
Câu 20: 3lim 2 3
x
x x
 bằng 
B. 0. B. 1. C. . D. . 
Câu 21: 3lim 2 3
x
x x
 bằng 
B. 0. B. 1. C. . D. . 
Câu 22: 
1
2 3
lim
1x
x
x 
 bằng 
A. 0. B. 1. C. . D. . 
Câu 23: 
1
2 3
lim
1x
x
x 
 bằng 
A 0. B. 1. C. . D. . 
Câu 24: 
2
2
4
lim
2x
x
x 
 bằng 
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. 
Câu 25: 
3
22
8
lim
4x
x
x 
 bằng 
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. 
Mức độ 3: 
Câu 26: 
6
3 3
lim
6x
x
x 
 bằng 
A. 0. B. 1. C. 
1
.
6
 D. 
5
.
6
Câu 27: 
22
4 1 3
lim
4x
x
x 
 bằng 
A. 0. B. 
1
.
12
 C. 
1
.
6
 D. 
5
.
6
Câu 28: Cho hàm số 
2
2
2 3
1
.1
1 1
x x
x
f x x
m x
 Giá trị nào của m thì hàm số liên tục tại 1x 
A. 1. B. 2. C. 3. D. 3.