Chuyên đề Toán Lớp 12 - Bài: Ứng dụng tích phân

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A.TĨM TẮT GIÁO KHOA.
1. Tính diện tích hình phẳng:
Định lí 1. Cho hàm số liên tục, khơng âm trên .
Khi đĩ diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và hai đường thẳng: là: .
Bài tốn 1: Cho hàm số liên tục trên. Khi đĩ diện tích của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ; trục : () và hai đường thẳng là: .
Bài tốn 2. 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: , và hai đường đường thẳng . Được xác định bởi cơng thức: .
Chú ý:
 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:
* Giải phương trình: tìm nghiệm 
	.
Tính: 	 
 .
Ngồi cách trên, ta cĩ thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
2) Trong nhiều trường hợp, bài tốn yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị , . Khi đĩ, ta cĩ cơng thức tính như sau: . 
Trong đĩ: tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: . 
2. Tính thể tích khối trịn xoay:
a. Tính thể tích của vật thể
Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng và vuơng gĩc với trục lần lượt tại . Một mặt phẳng bất kì vuơng gĩc với tại điểm cắt C theo một thiết diện cĩ diện tích . Giả sử là hàm liên tục trên . Khi đĩ thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp và được tính theo cơng thức: .
b. Tính thể tích vậy trịn xoay
Bài tốn 1. Tính thể tích vật thể trịn xoay khi quay miền được giới hạn bởi các đường quanh trục 
Thiết diện của khối trịn xoay cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với tại điểm cĩ hồnh độ bằng là một hình trịn cĩ bán kính nên diện tích thiết diện bằng 
. Vậy thể tích khối trịn xoay được tính theo cơng thức:
.
Chú ý: 
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi các đường (Với ) thì thể tích khối trịn xoay sinh bởi khi quay quanh trục được tính bởi cơng thức: 
	.
Bài tốn 2. Tính thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục được tính theo cơng thức: .
Chú ý: Trong trường hợp ta khơng tìm được x theo y thì ta cĩ thể giải bài tốn theo cách sau. 
 Chứng minh hàm số liên tục và đơn điệu trên với . Khi đĩ phương trình cĩ duy nhất nghiệm .
 Thực hiện phép đổi biến ta cĩ:.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.
DẠNG 1. Diện tích hình phẳng giới hạn
Phương pháp: 
Cho hàm số liên tục trên. Khi đĩ diện tích của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ; trục : () và hai đường thẳng là: .
 cơng thức này chỉ đúng khi khơng đổi dấu trên khoảng .
Nếu: thì 
Nếu thì 
Chú ý: Nếu phương trình cĩ nghiệm phân biệt trên thì trên mỗi khoảng biểu thức khơng đổi dấu.
Khi đĩ tích phân được tính như sau: 
	.
Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
 và và hai đường thẳng : 
	.
1. các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:
1. 2. 
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường:
1. và trục 2. và trục .
Ví dụ 3. Cho hàm số cĩ đồ thị . Xác định để đồ thị cắt trục tại điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi và trục cĩ diện tích phần phía trên trục bằng diện tích phần phía dưới trục . 
Ví dụ 4. Tìm các giá trị tham số sao cho: , cĩ đồ thị cắt trục hồnh tại điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi với trục hồnh phần phía trên cĩ diện tích bằng .
Ví dụ 5.Cho parabol và đường thẳng qua cĩ hệ số gĩc là .Tìm để hình phẳng giới hạn bởi và cĩ diện tích nhỏ nhất.
Ví dụ 6. Tìm để cĩ điểm cực trị. Khi đĩ gọi là tiếp tuyến của tại điểm cực tiểu, tìm để diện tích miền phẳng giới hạn bởi và bằng .
Ví dụ 7. Tìm các giá trị tham số sao cho: và giới hạn hai hình phẳng cĩ cùng diện tích.
Ví dụ 8. Cho parabol , cĩ đỉnh và là giao điểm khác của và trục hồnh. là điểm di động trên , tiếp tuyến của tại cắt tại . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích tam giác cong và .
Ví dụ 9. Tìm để đồ thị cắt tại bốn điểm phân biệt và diện tích hình phẳng nằm trên giới hạn bởi và bằng diện tích hình phẳng phía dưới trục giới hạn bởi và .
1i. Bài tập tự luận tự luyện
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
1. Đồ thị hàm số: , trục hồnh và đường thẳng .
2. Đồ thị hàm số: và .
Đề thi Đại học khối A, năm 2007. 
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :
1. và 
2. và trục 
3. và trục hồnh.
4. , trục và tiếp tuyến tại điểm cĩ hồnh độ bằng .
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số :
1. và .
2. , .
3. và trục hồnh.
4. và .
5. và 
6. và 
7. .
8. 
9. 
10. 
11. 
12. ; và .
Bài 4: 
1. Tìm thuộc khoảng sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và các đường cĩ diện tích bằng 
2. Cho hàm số . Trong trường hợp hàm số đồng biến trong tập số thực , tìm để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục cĩ diện tích bằng 
Bài 5: Xét hình phẳng (H) bị chắn phía dưới bởi Parabol (P):và phía trên bởi đường thẳng đi qua cĩ hệ số gĩc . Tìm để (H) cĩ diện tích nhỏ nhất
1ii. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Câu 1. Cho hàm số liên tục trên Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong trục hồnh và các đường thẳng được xác định bởi cơng thức nào sau đây? 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Diện tích của hình phẳng phần tơ đậm trong hình được tính theo cơng thức nào sau đây?
	A. .
	B. .
	C. .
	D. .
Câu 3. Cho hai hàm số liên tục trên Diện tích hình phẳng giới hạn các bởi đường cong và các đường thẳng được xác định bởi cơng thức nào sau đây? 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và trục hồnh (như hình vẽ) được tính bởi cơng thức nào dưới đây?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Câu 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và trục hồnh (như hình vẽ) được tính bởi cơng thức nào dưới đây?
	A. 	
	B. 
	C. 
	D. 
Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và các đường được xác định bởi cơng thức nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 7. Sơ đồ ở bên phải phác thảo của một khung cửa sổ. Diện tích của cửa sổ được tính bởi cơng thức nào sau đây? 
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Câu 8. Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn với Kí hiệu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9. Cho hàm số xác định và đồng biến trên đoạn và . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số , và các đường , được xác định bởi cơng thức nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 10. Cho hàm số cĩ đồ thị trên đoạn như hình vẽ bên. Tính tích phân 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
O
-1
4
3
2
1
2
-1
y
x
Câu 11. Kí hiệu lần lượt là diện tích hình vuơng cạnh bằng và diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và .
	A. . 	B.. 	C. .	D. .
Câu 13. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đồ thị hàm số 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai đường thẳng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và đường thẳng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 16. Kí hiệu lần lượt là diện tích hình vuơng đơn vị (cĩ cạnh bằng đơn vị), hình trịn đơn vị (cĩ bán kính bằng đơn vị), hình phẳng giới hạn bởi hai đường . Tính tỉ số 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng với diện tích hình nào sau đây?
	A. Diện tích hình vuơng cĩ cạnh bằng .
	B. Diện tích hình chữ nhật cĩ chiều dài, chiều rộng lần lượt và .
	C. Diện tích hình trịn cĩ bán kính bằng .
	D. Diện tích tồn phần khối tứ diện đều cĩ cạnh bằng .
Câu 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và hai đường thẳng , .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và đường thẳng .
	A..	B. .	C. .	D. .
Câu 20. Biết rằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và hai đường thẳng được dưới dạng Mệnh đề nào sau đây là sai?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh, trục tung và đường thẳng .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và 
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 24. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và hai đường thẳng , .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 25. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường Đường thẳng chia thành hai phần cĩ diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm để .
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 26. Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và . Đường thẳng chia thành hai phần cĩ diện tích tương ứng như hình vẽ bên, biết . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 27. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Đường thẳng chia hình thành hai phần cĩ diện tích (hình vẽ). Tìm để .
	A. . 	B. .	
	C. 	D. .
Câu 28. Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và đường thẳng Gọi , . Tính giá trị của tham số để đoạn thẳng chia thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau.
	A. . 	B..	C.	D. .
Câu 29. Cho hàm số liên tục trên và hàm số cĩ đồ thị trên đoạn như hình vẽ bên. Biết phần diện tích miền được tơ màu là , tính giá trị của tích phân 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 30. Một khung cửa cĩ hình dạng như hình vẽ, phần phía trên là một parabol. Biết , , . Biết số tiền một mét vuơng cửa là 1 triệu đồng. Số tiền cần để mua cửa là:
	A. triệu đồng.	B. triệu đồng. 
	C. triệu đồng.	D. triệu đồng.
Câu 31. Biết rằng đường parabol chia đường trịn thành hai phần lần lượt cĩ diện tích là (hình vẽ bên). Khi đĩ với nguyên dương và là phân số tối giản. Tính 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 32. Một bồn hình trụ chứa dầu được đặt nằm ngang, cĩ chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích gần đúng nhất của khối dầu cịn lại trong bồn.
	A. 11,781	B. 12,637	
	C. 1	D. 
Câu 33. Cho một viên gạch men cĩ dạng hình vuơng như hình vẽ. Sau khi tọa độ hĩa, ta cĩ và hai đường cong trong hình lần lượt là đồ thị hàm số và Tính tỷ số diện tích của phần tơ đậm so với diện tích phần cịn lại của hình vuơng.
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 34. (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Ơng An cĩ một mảnh vườn hình Elip cĩ độ dài trục lớn bằng m và độ dài trục bé bằng m. Ơng muốn trồng hoa trên một dải đất rộng m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). 
Biết kinh phí để trồng hoa là đồng. Hỏi ơng An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đĩ? (Số tiền được làm trịn đến hàng nghìn)
	A. đồng.	B. đồng.	
DẠNG 2. Thể tích hình phẳng giới hạn
	C. đồng.	D. đồng. 
Phương pháp: 
Tính thể tích vật thể trịn xoay khi quay miền được giới hạn bởi các đường quanh trục 
Thiết diện của khối trịn xoay cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với tại điểm cĩ hồnh độ bằng là một hình trịn cĩ bán kính nên diện tích thiết diện bằng 
. Vậy thể tích khối trịn xoay được tính theo cơng thức:
.
1. các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuơng gĩc với trục tại điểm cĩ hồnh độ là một đường trịn cĩ độ dài bán kính .
Ví dụ 2.Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng và , biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuơng gĩc với trục tại điểm cĩ hồnh độ ) là một hình chữ nhật cĩ độ dài hai cạnh là và .
Ví dụ 3. Cho parabol . Gọi là tiếp tuyến với qua cĩ hệ số gĩc . Xác định để khi cho quay quanh hình phẳng giới hạn bởi và trục cĩ thể tích bằng .
1i. Bài tập tự luận tự luyện
Bài 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường : . Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay hình quanh trục .
Bài 2: Tính thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
1. và đường thẳng 
2. và trục .
3. và .
4. .
5. .
6..
Bài 3: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1. quay quanh 
2. , quay quanh .
1ii. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Câu 36. Viết cơng thức tính thể tích của khối trịn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số trục và hai đường thẳng xung quanh trục 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 37. Cho hình phẳng trong hình bên (phần tơ đậm) quay quanh trục hồnh. Thể tích khối trịn xoay tạo thành được tính theo cơng thức nào trong các cơng thức sau đây?
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Câu 38. Viết cơng thức tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuơng gĩc với trục tại các điểm cĩ thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuơng gĩc với trục tại điểm cĩ hồnh độ là .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 39. (ĐỀ THAM KHẢO 2016 – 2017) Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuơng gĩc với trục tại điểm cĩ hồnh độ thì được thiết diện là một hình chữ nhật cĩ hai cạnh là và .
	A. . 	B. 	C. .	D. .
Câu 40. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuơng gĩc với trục tại điểm cĩ hồnh độ thì được thiết diện là một phần tư hình trịn bán kính 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 41. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuơng gĩc với trục tại điểm cĩ hồnh độ thì được thiết diện là một tam giác đều cạnh là 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 42. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hồnh. Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 43. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2107) Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hồnh và các đường thẳng Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 44. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hồnh và đường thẳng Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 45. Kí hiệu lần lượt là thể tích của khối cầu bán kính đơn vị và thể tích khối trịn xoay sinh ra khi quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và đường cong Mệnh đề nào sau đây là đúng?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 46. Một Bác thợ gốm làm một cái lọ cĩ dạng khối trịn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường (đồ thị như hình vẽ) và trục quay quanh trục Biết đáy lọ và miệng lọ cĩ đường kính lần lượt là và Tính thể tích của lọ. 
A. 	B. 	C. D. 
Câu 47. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hồnh và các đường thẳng Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh.
	A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 48. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục tung và trục hồnh. Tính thể tích của khối trịn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 49. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hồnh và các đường thẳng . Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 50. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hồnh và các đường thẳng . Khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh cĩ thể tích bằng bao nhiêu?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 51. Ký hiệu là hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và với là tham số thực lớn hơn . Tìm sao cho thể tích của khối trịn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục hồnh bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 52. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và . Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 53. Hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Khi quay hình quanh trục tạo thành khối trịn xoay cĩ thể tích bằng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 54. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và . Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi quay quanh trục hồnh.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 55. Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay quanh trục được xác định bởi cơng thức nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 56. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường và Khối trịn xoay tạo ra khi quay quanh cĩ thể tích được xác định bằng cơng thức nào sau đây ?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Câu 57. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng và trục hồnh. Khối trịn xoay tạo ra khi quay quanh cĩ thể tích được xác định bằng cơng thức nào sau đây ?
	A. 	B. 	
	C. 	D. 
Câu 58*. Cho hình phẳng giới hạn bởi đường trịn cĩ bán kính đường cong và trục hồnh (miền tơ đậm như hình vẽ). Tính thể tích của khối tạo thành khi cho hình quay quanh trục 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 59*. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay hình phẳng quanh trục hồnh.
	A. . 	B. . 	C. 	D. .
Câu 60. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , , và . Gọi là thể tích khối trịn xoay khi quay hình quanh trục . Biết rằng . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 61. Gọi là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quanh trục . Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối trịn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục . Biết rằng . Khi đĩ:
	A. . 	B. . 	C. .	D. . 
Câu 62. Tính thể tích của khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường trịn quanh trục hồnh.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 63. Cho hình vuơng cĩ độ dài cạnh bằng và một hình trịn cĩ bán kính được xếp chồng lên nhau sao cho tâm của hình trịn trùng với tâm của hình vuơng như hình vẽ bên. Tính thể tích của vật thể trịn xoay tạo thành khi quay mơ hình trên quanh trục 
	A. 	B. 
	C. 	D. 	
Câu 64. Bên trong hình vuơng cạnh , dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình). Tính thể tích của khối trịn xoay sinh ra khi quay hình sao đĩ quanh trục .
	A. 	B. 
	C.	D. 
Câu 65. Cho hai tam giác cân cĩ chung đường cao và cạnh đáy lần lượt là và , được xếp chồng lên nhau sao cho đỉnh của tam giác này là trung điểm cạnh đáy của tam giác kia như hình vẽ bên. Tính thể tích của vật thể trịn xoay được tạo thành khi quay mơ hình trên quanh trục .
	A. B. C. 	D.