Chuyên đề Toán Lớp 12 - Bài: Phương pháp tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1.	Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
	Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 
	Chú ý: 	 và .
2.	Tọa độ của vectơ:
	a) Định nghĩa:	
	b) Tính chất: Cho 
	· 
	· 
	· 
	· 
	· cùng phương 	Û 
	· 	· 
	· 	· 
	· (với )
3.	Tọa độ của điểm:
	a) Định nghĩa:	(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
	Chú ý:	· M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0
	· M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0
	b) Tính chất: Cho 
	· 	· 
	· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
	· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
	· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
BÀI TẬP: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
Cho 
a) Tìm tọa độ các vectơ đó	b) Tìm cosin của các góc 
c) Tính tích vô hướng của 
Cho M(a, b, c):
	a) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các trục tọa độ
	b) Tìm tọa độ hình chiếu của M lên các mp tọa độ
Cho hình bình hành ABCD có A(-3; -2; 0), B(3; -3; 1), C(5; 0; 2). Tìm tọa độ D và tính góc giữa hai vecto
Tính tích vô hướng của , biết:
a) 	b) 
Tìm góc giữa hai vectơ 
a) 	b) 
Tìm M trên Ox sao cho M cách đều A(1; 2; 3) và B(-3; -3; 2)
Cho tam giác ABC có A(1; -1; 1) , B(0; 1; 2), C(1; 0; 1)
	a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC	b) Tính độ dài đường trung tuyến AM
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1; -1; 1), C’(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
(TN 07 - 08) Cho tam giác ABC với A(1; 4; -1), B(2; 4; 3) và C(2; 2; -1). Tìm toạ độ D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
(TN 01-02) Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D có toạ độ xác định bởi các hệ thức: A(2; 4; -1), , C(2; 4; 3), . Chứng minh: ABAC, ACAD, ADAB.
Cho A(1;-1;1) , B(2;-3;2), C(4;-2;2), D(3;0;1), E(1;2;3)
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của nó.
b) Tính cos các góc của tam giác ABC.
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm A, B.
Bài 2: MẶT CẦU
Phương trình mặt cầu:
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R : (1)
Phương trình mặt cầu dạng khai triển:
x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 – d > 0	 (2)
Tâm I(a; b; c) và bán kính R= 
Chú ý: 
Mặt cầu có tâm I và qua A thì R = IA = 
Mặt cầu có đường kính AB thì R = và tâm I là trung điểm AB
Mặt cầu qua 4 điểm A, B,C, D thì viết phương trình mặt cầu ở dạng (2) rồi thay tọa độ từng điểm vào phương trình và giải hệ để tìm a, b, c, d. (Hoặc )
3. Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu:
Cho và điểm , Gọi là tâm mc(S), R là bán kính của mặt cầu.
IM > Rà Điểm M nằm ngoài mặt cầu
IM < Rà Điểm M nằm trong mặt cầu
IM = R à Điểm M thuộc mặt cầu(Hay Thay tọa độ điểm M vào PT mặt cầu thỏa mãn)
4. Vị trí tương đối giữa hai mặt cầu:
	Cho hai mặt cầu S1(I1, R1) và S2(I2, R2).
	· 	Û (S1), (S2) trong nhau	· Û (S1), (S2) ngoài nhau
	· 	Û (S1), (S2) tiếp xúc trong 	· Û (S1), (S2) tiếp xúc ngoài
	· Û (S1), (S2) cắt nhau theo một đường tròn.
BÀI TẬP: Xét các bài toán dưới đây trong hệ trục tọa độ Oxyz.
Bài 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu:
x2 + y2 + z2 -6x +4y -2z – 86 = 0
x2 +y2 +z2 +3x + 4y – 5z +6 = 0
x2 +y2 +z2 –6x + 4y + 2z – 11 = 0
(x - 1)2 +(y +3 )2 +(z – 2)2 = 49
x2 +y2 +z2 –2x +2z – 2 = 0
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu biết:
mặt cầu có đường kính AB với A(4; -3; 7), B(2; 1; 3)
mặt cầu đi qua điểm A(5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)
mặt cầu qua 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
mặt cầu qua 4 điểm A(1 ; 0 ; -1), B(3 ; 4 ; -2), C(4 ; -1 ; 1), D(3 ; 0 ; 3)
Bài 3: (TN03-04) Trong không gian Oxyz cho A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2) Gọi A’ là hình chiếu của A lên Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Bài 4: a) Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1) , C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp Oxy.
	b) Lập pt mặt cầu đi qua 3 điểm A(1;2;0), B(-1;1;3) , C(2;0;-1) và có tâm nằm trên mp Oxz.
Bài 5: Chứng tỏ rằng phương trình luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Bài 7: Xét vị trí tương đối của hai mặt cầu: 
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
Bài 3: TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ
	a) Định nghĩa: Cho , .
	Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
	b) Tính chất: 
	· 	· 
	· (Chương trình nâng cao)	 
	· cùng phương (cm 3 điểm thẳng hàng)
	c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chương trình nâng cao)
	· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng Û 
	· Diện tích hình bình hành ABCD:	
	· Diện tích tam giác ABC:	
	· Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢:	
	· Thể tích tứ diện ABCD:	
	Chú ý:	 
	– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
	– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
Bài tập:
Tính tích có hướng của các vect ơ:
	a)	b) 	c)	d) 
Cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)
Tính 
Tính 
Cho 4 điểm A(1; 0;0) , B(0; 1; 0), C(0;0;1), D(-2; 1; -1)
Chứng minh A, B, C không thẳng hàng
Tìm góc giữa hai vecto 
Tính
 Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các trục Ox, Oy, Oz. Tính :
Cho M(1 ; -2 ; 3). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của M lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx. Tính :
Trong không gian Oxyz cho B(1; 1; 1), C(1/3; 1/3; 1/3). Chứng minh O, B, C thẳng hàng.
Cho ba vectơ . Tìm m, n để :	
a) 	b) 
8. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi trường hợp sau đây:	
	a) 	b) 
	c) 	d) 
9. Tìm m để 3 vectơ đồng phẳng:
a) 
b)