Chuyên đề Các dạng toán Giới hạn dãy số thường gặp - Toán Lớp 11 (Có đáp án)

TOÁN 11
GIỚI HẠN DÃY SỐ
1D4-1
Contents
PHẦN A. CÂU HỎI
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.	Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.
A. Nếu và thì .
B. Nếu và thì .
C. Nếu và thì .
D. Nếu và và với mọi thì .
Câu 2.	Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn ,
A. 	B. .	C. .	D. .
Câu 3.	Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Ta nói dãy số có giới hạn là số (hay dần tới ) khi , nếu .
B. Ta nói dãy số có giới hạn là khi dần tới vô cực, nếu có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
C. Ta nói dãy số có giới hạn khi nếu có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
D. Ta nói dãy số có giới hạn khi nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Câu 4.	Cho các dãy số và thì bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5.	Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I) với nguyên dương.
(II) nếu .
(III) nếu 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	Cho dãy số thỏa với mọi . Khi đó
A. không tồn tại.	B. .	C. .	D. .
Câu 7.	 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai?
A. (là hằng số ).	B. .
C. .	D. .
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
Câu 8.	 (THPT Chuyên Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính .
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9.	 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11.	 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	 (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 13.	 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14.	 (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15.	 bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 16.	 (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 17.	 (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 18.	 (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19.	Tìm biết .
A. .	B. .	C. 	D. .
Câu 20.	 (THPT XUÂN HÒA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 21.	 (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 22.	Với là số nguyên dương, đặt . Khi đó bằng
A. 	B. .	C. .	D. .
Câu 23.	 (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của 
A. 	B. 	C. 	D. 
Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu
Câu 24.	 (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HÒA BÌNH - 2018) Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 25.	 (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 26.	 (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 27.	 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn bằng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 28.	 (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 29.	 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 30.	 (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 31.	 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 32.	 (SGD THANH HÓA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 33.	 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 34.	 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính được kết quả là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 35.	 (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 36.	 (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 37.	Giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 38.	Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 39.	 bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 40.	Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 41.	Giới hạn của dãy số với là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 42.	Tính giới hạn ta được kết quả:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 43.	 bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 44.	 bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 45.	Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 46.	Cho hai dãy số và có ; . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 47.	Giới hạn bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 48.	Giá trị của bằng:
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 49.	 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 50.	 (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên thỏa mãn . Tổng các phần tử của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 51.	 (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho sao cho giới hạn .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 52.	Dãy số với có giới hạn bằng phân số tối giản . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 53.	Biết với là tham số. Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 54.	Cho dãy số với . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .
B. .
C. Dãy số không có giới hạn khi .
D. .
Câu 55.	 (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn có giá trị bằng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 56.	 bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 57.	 bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 58.	Cho dãy số xác định bởi: với Giá trị của bằng:
A. 0`.	B. .	C. .	D. 1
Câu 59.	 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 60.	 (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018) Tính giới hạn: .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 61.	 (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số với Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 62.	Tính ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu
Câu 63.	 là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 64.	Tính giới hạn 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 65.	Tính giới hạn của dãy số 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 66.	Giới hạn bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Dạng 1.4 Phân thức chứa căn
Câu 67.	 (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) bằng
A. .	B. 2.	C. 1.	D. .
Câu 68.	 (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho . Khi đó giá trị của là:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 69.	 (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 70.	Tìm biết 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 71.	 (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC
Câu 72.	 bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 73.	Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng ?
A. .	B. .
C. .	D. 
Câu 74.	Giới hạn bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 75.	Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 76.	Có bao nhiêu giá trị nguyên của để ?
A. .	B. .	C. 	D. .
Câu 77.	 (LÊ QUÝ ĐÔN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 78.	 (LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 79.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 80.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 81.	Tính giới hạn . ĐS: .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 82.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 83.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 84.	Tính giới hạn sau . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 85.	Tính giới hạn. 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 86.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 87.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 88.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 89.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 90.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 91.	Tính giới hạn . 
A. .	B. .	C. .	D. .
DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA
Câu 92.	 (THPT HÀ HUY TẬP - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 93.	 (THPT THÁI PHIÊN - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) bằng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 94.	Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 95.	 bằng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 96.	Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 97.	 là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 98.	 là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 99.	Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 100.	Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng ?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 101.	Tính .
A. 2.	B. 0.	C. 1.	D. .
Câu 102.	 (Chuyên - Vĩnh Phúc - lần 3 - 2019) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 103.	 (THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-lần 1 năm 2017-2018) Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG
Câu 104.	 (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu và công bội .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 105.	Tổng vô hạn sau đây có giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 106.	Số thập phân vô hạn tuần hoàn viết dưới dạng hữu tỉ là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 107.	Tổng bằng
A. .	B. 2.	C. 1.	D. .
Câu 108.	 (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho dãy số , thỏa mãn điều kiện . Gọi là tổng số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 109.	Cho dãy số thoả mãn . Tìm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 110.	Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai . Tìm .
A. .	B. .	C. .	D. 
DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Câu 111.	 (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Cho dãy số thỏa mãn . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Dãy số là dãy tăng.	B. .
C. .	D. .
Câu 112.	 (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Đặt , xét dãy số sao cho . Tìm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 113.	 (THTT số 6-489 tháng 3 năm 2018) Cho dãy số xác định bởi và , . Biết
với , , là các số nguyên dương và . Tính giá trị .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 114.	 (THTT Số 2-485 tháng 11-năm học 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác số khi dần đến vô cùng?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 115.	 (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho dãy số được xác định như sau , với mọi , tìm giới hạn của dãy số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 116.	Cho dãy số như sau: ,, , Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 117.	 (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Cho dãy số thỏa mãn . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 118.	 (THPT GANG THÉP - LẦN 3 - 2018) Cho dãy số biết , khi đó 
A. Không xác định.	B. .	C. .	D. .
Câu 119.	 (THPT HẬU LỘC 2 - TH - 2018) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác được gọi là tam giác trung bình của tam giác .
Ta xây dựng dãy các tam giác sao cho là một tam giác đều cạnh bằng và với mỗi số nguyên dương , tam giác là tam giác trung bình của tam giác . Với mỗi số nguyên dương , kí hiệu tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác . Tính tổng ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 120.	 (CTN - LẦN 1 - 2018) Trong các dãy số cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác ?
A. .	B. .
C. .	D. .
Câu 121.	 (SGD&ĐT BRVT - 2018) Cho dãy số thỏa mãn: ; . Biết rằng . Giá trị của biểu thức là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 122.	 (THPT TRẦN PHÚ - ĐÀ NẴNG - 2018) Với là số tự nhiên lớn hơn , đặt . Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 123.	 (THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU - ĐỒNG THÁP - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thuộc khoảng để có ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 124.	Từ độ cao của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 125.	 (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số đều tồn tại giới hạn hữu hạn. Biết rằng hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức với mọi . Giá trị của giới hạn bằng
A. 0.	B. .	C. .	D. .
Câu 126.	Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là cm. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Chiều cao mô hình không quá mét	B. Chiều cao mô hình tối đa là mét
C. Chiều cao mô hình dưới mét.	D. Mô hình có thể đạt được chiều cao tùy ý.
Câu 127.	Trong một lần Đoàn trường Lê Văn Hưu tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số nào dưới đây nhất?
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 128.	Với mỗi số nguyên dương , gọi là số cặp số nguyên thỏa mãn . (nếu thì hai cặp số và khác nhau). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO
DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT
Câu 1.	 Chọn C
Nếu và thì là mệnh đề sai vì chưa rõ dấu của là dương hay âm.
Câu 2.	 Chọn D
Lấy máy tính bấm từng phương án thì phần D ra kết quả đề bài
Câu 3.	 Chọn A
Câu 4.	 Chọn B
Dùng tính chất giới hạn: cho dãy số và trong đó hữu hạn thì .
Câu 5.	 Chọn D
(I) với nguyên dương là khẳng định đúng.
(II) nếu là khẳng định sai vì nếu .
(III) nếu là khẳng định đúng.
Vậy số khẳng định đúng là .
Câu 6.	 Chọn D
Ta có: .
Câu 7.	 Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số (SGK ĐS11-Chương 4) thì .
DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC
Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu
Câu 8.	 Chọn B
Ta có .
Câu 9.	 Chọn A
Ta có .
Câu 10.	 Chọn D
Ta có: .
Câu 11.	 Chọn B
Ta có: .
Câu 12.	 Chọn B
.
Câu 13.	
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có 
Câu 14.	 Ta có .
Câu 15.	 Chọn B
Câu 16.	 Chọn D
Ta có: .
Câu 17.	 Chọn C
Ø Xét đáp án	A. .
Ø Xét đáp án	B. 
Ø Xét đáp án	C. .
Ø Xét đáp án	D. .
Câu 18.	 .
Câu 19.	 Chọn A
Ta có: 
.
Suy ra: .
Câu 20.	 Ta có: .
Vậy .
Câu 21.	 Ta có là tổng của cấp số cộng có , nên 
, .
.
Câu 22.	
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .
Suy ra
.
.
Suy ra