Các dạng bài tập Toán Lớp 10 - Chương II: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

 1 
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng. 
Bài tập luyện tập. 
Bài 3.1: Cho điểm 1; 3A . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 
 đi qua A và 
a) Vuông góc với trục tung 
b) song song với đường thẳng : 2 3 0d x y 
Bài 3.2: Cho tam giác ABC biết 2;1 , 1;0 , (0;3)A B C . 
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao AH 
b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB . 
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC . 
d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với đường 
thẳng BC . 
Bài 3.3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng trong mỗi trường 
hợp sau: 
a) đi qua điểm 2;5M và song song với đường thẳng 
: 4 7 3 0d x y 
b) đi qua 2; 5P và có hệ số góc 11k . 
Bài 3.4: Cho 8;6M . Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều 
dương hai trục toạ độ tại A, B sao cho OA OB đạt giá trị nhỏ nhất. 
 DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. 
Bài tập luyện tập: 
Bài 3.5: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau: 
1 2) : 3 0; : 2 2 0a d x y d x y 
1 2) : 4 6 2 0; : 2 3 1 0b d x y d x y 
1 2) : 3 2 1 0; : 3 4 0c d x y d x y 
Bài 3.6: Cho hai đường thẳng 1 2: 3 3 0, : 2 0x y x y và 
điểm (0;2)M 
a) Tìm tọa độ giao điểm của 1 và 2 . 
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt 1 và 2 lần lượt tại 
A và B sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AM 
Bài 3.7: Cho hai đường thẳng có phương trình: 
2 2
1 2: ( ) 1; : ( )a b x y a b x ay b với 
2 2 0a b 
 2 
a) Tìm quan hệ giữa a và b để 1 và 2 cắt nhau 
b) Tìm điều kiện giữa a và b để 1 và 2 cắt nhau tại điểm thuộc trục 
hoành. 
Bài 3.8: Cho 2 đường thẳng 
2 2
1 2: 0; : (1 ) 2 1 0kx y k k x ky k . 
Chứng minh rằng: 
a) Đường thẳng 1 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k . 
b) 1 luôn cắt 2 . Xác định toạ độ giao điểm của chúng. 
Bài 3.9: Cho hai đường thẳng 
1 2: 1 0; : 2 0mx y m x my 
Biện luận theo m vị trí tương đối của hai đường thẳng. 
Bài 3.10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho các điểm 
0;1 , 2; 1A B và các đường thẳng 
1 : ( 1) ( 2) 2 0d m x m y m , 
2 : (2 ) ( 1) 3 5 0d m x m y m 
a) Chứng minh 1d và 2d luôn cắt nhau. 
b) Gọi P là giao điểm của 1d và 2d . Tìm m sao cho PA PB lớn nhất. 
Bài 3.11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 
': 1 0, : 3 0m mmx y m x my m , (với m là tham số 
thực). Chứng minh rằng với mọi m R thì hai đường thẳng đó luôn cắt 
nhau tại 1 điểm nằm trên một đường tròn cố định. 
Bài 3.12: Tam giác ABC biết : 5 2 6 0AB x y và 
: 4 7 21 0AC x y và (0;0)H là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ 
điểm ,A B . 
Bài 3.13: Cho điểm 2;1A và đường thẳng : 3 3 0d x y . Tìm hình 
chiếu của A lên d . 
Bài 3.14: Cho tam giác ABC biết 4;6 , 1;2A B và đường phân giác 
trong CK có phương trình là 3 9 22 0x y . Tính toạ độ đỉnh C của tam 
giác. 
§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
 DẠNG 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng. 
Bài tập luyện tập. 
 3 
Bài 3.15. Cho điểm 2; 2A và 0;1B . Viết phương trình tham số của 
đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: 
a) đi qua A và nhận vectơ 1;2u làm vectơ chỉ phương 
b) đi qua A và nhận vectơ 4;2n làm vectơ pháp tuyến 
c) đi qua 1;1C và song song với đường thẳng AB 
d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB 
Bài 3.16: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của 
đường thẳng trong mỗi trường hợp sau: 
a) đi qua điểm 3;0A và 1;0B 
b) đi qua 1;2M và vuông góc với đường thẳng : 3 1 0d x y . 
c) đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng 
1 3
' :
2
x t
y t
. 
Bài 3.17: Cho tam giác ABC có 2; 1 , 2; 3A B và 1;5C . 
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh của tam giác. 
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM . 
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm AB và trọng tâm của 
tam giác ABC 
Bài 3.18. Cho tam giác ABC biết 1;4 , 3; 1A B và 6; 2C . 
a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB. 
b) Viết phương trình đường cao AH. 
c) Viết phương trình đường trung tuyến của tam giác đó AM. 
d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC. 
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác và song 
song với trục hoành. 
f) Viết phương trình đường thẳng đi qua trung điểm BC và vuông góc với 
trục tung. 
g) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với hai trục tọa độ một 
tam giác cân đỉnh là gốc tọa độ. 
h) Đường thẳng qua C và chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A 
có diện tích gấp đối phần chứa điểm B . 
Bài 3.19. Viết phương trình đường thẳng qua 3;2M và cắt tia Ox tại A, tia 
Oy tại B sao cho : 
a) 12OA OB 
b) Diện tích tam giác OAB bằng 12 
 4 
Bài 3.20. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của 
: 2 5 0AB x y , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ 
nhật là 4;5I . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình chữ nhật. 
Bài 3.21. Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3 2 0x y và 
2 0x y . 
Viết phương trình hai cạnh còn lại biết tâm hình bình hành là 3;1I . 
Bài 3.22. Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là 1;3I , trung điểm 
AC là 3;1J . Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa 
độ điểm A , phương trình BC và đường cao vẽ từ B . 
Bài 3.23. Cho tam giác ABC biết 2;1 , 5;3 , 3; 4M N P lần lựợt là 
trung điểm của ba cạnh. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. 
 DẠNG 2. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng. 
Bài tập luyện tập. 
Bài 3.24: Cho tam giác ABC có trọng tâm 2;0G , phương trình các cạnh 
AB: 4 14 0x y , AC: 2 5 2 0x y . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, 
C. 
Bài 3.25: Cho hai đường thẳng 1 : 0d x y và 2 : 2 1 0d x y . Tìm 
toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d 
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. 
Bài 3.26: Cho tam giác ABC có đỉnh 2;1A , đường cao qua đỉnh B có 
phương trình 3 7 0x y và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương 
trình 1 0x y . Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác. 
Bài 3.27: Cho điểm 2;2A và các đường thẳng: 
1 2: 2 0, : 8 0d x y d x y . Tìm toạ độ các điểm B và C lần 
lượt thuộc d1 và d2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 
Bài 3.28: Tam giác ABC biết 2; 1A và phương trình hai đường phân 
giác trong của góc B và góc C lần lượt là 
: 2 1 0, ' : 2 3 6 0x y x y . Xác định tọa độ ,B C . 
Bài 3.29: Cho điểm 2;1A . Trên trục Ox , lấy điểm B có hoành độ 
0Bx , trên trục Oy , lấy điểm C có tung độ 0Cy sao cho tam giác 
ABC vuông tại A. Tìm các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn 
nhất. 
Bài 3.30: Cho tam giác ABC cân tại B, với 1; 1 ,C 3;5A . Điểm B nằm 
trên đường thẳng : 2 0d x y . Viết phương trình các đường thẳng AB, 
BC. 
 5 
Bài 3.31: Cho đường thẳng : 2 3 0x y và hai điểm 2;5A và 
4;5B . Tìm tọa độ điểm M trên sao cho 
a) 2 22MA MB đạt giá trị nhỏ nhất 
b) MA MB đạt giá trị nhỏ nhất 
c) MA MB đạt giá trị lớn nhất 
Bài 3.32: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết 1;1A và 
phương trình các đường phân giác trong góc B, C lần lượt là 
2 2 0x y và 3 3 0x y . 
Bài 3.33: Viết phương trình đường thẳng ' đối xứng với đường thẳng 
qua điểm I biết 
a) ( 3;1); : 2 3 0I x y b) 
2
( 1;3); :
1 2
x t
I
y t
Bài 3.34: Cho hình vuông tâm 2;3I và : 2 1 0AB x y . Viết 
phương trình các cạnh còn lại và các đường chéo . 
Bài 3.35: Cho tam giác ABC vuông tại A biết phương trình cạnh BC là: 
3 3 0x y ; điểm A, B thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm 
G của tam giác ABC biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 
2 
Bài 3.36: Cho tam giác ABC có ( 2,0)C , đường phân giác trong góc A 
có phương trình là 5x 3 0y và thỏa mãn 2AB OM với 2;3M . 
Tìm tọa độ điểm A, B 
Bài 3.37: Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua 
trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình 4 0x y . Tìm 
toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm 1;3E nằm trên đường cao đi qua đỉnh 
C của tam giác đã cho. 
Bài 3.38: Cho hình thoi ABCD có (1, 2); ( 3,3)A B và giao điểm của hai 
đường chéo nằm trên đường thẳng : 2 0.d x y Tìm toạ độ C và D. 
Bài 3.39: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng 
: 1 0AB x y và phương trình đường thẳng : 2 1 0BD x y ; 
đường thẳng AC đi qua 1;1M . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật 
ABCD . 
 6 
Bài 3.40: Cho tam giác ABC có diện tích 
3
2
S , tọa độ các đỉnh 
2; 3 , 3; 2A B và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng có 
phương trình 3 8 0x y . Tìm tọa độ đỉnh C 
Bài 3.41: Cho điểm (1; 1)M và hai đường thẳng 
1 2: 3 5 0, : 4 0.d x y d x y 
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M và cắt 1 2,d d lần lượt 
tại ,A B sao cho 2 3 0.MA MB 
Bài 3.42. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh 
4;1C ; phương trình các đường trung tuyến AA', đường phân giác BB' 
của tam giác đó lần lượt là 2 3 0, 6 0x y x y 
Bài 3.43. Cho tam giác ABC có 4; 1A và phương trình hai đường trung 
tuyến ' : 8 3 0, ' : 14 13 9 0BB x y CC x y . Tính tọa độ ,B C 
Bài 3.44: Cho tam giác ;ABC phương trình các đường thẳng chứa đường cao 
và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt là 2 13 0x y và 
13 6 9 0.x y Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết tâm đường tròn ngoại 
tiếp tam giác ABC là ( 5; 1).I 
Bài 3.45. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh 
5;3A , trực tâm 3;2H và trung điểm cạnh BC là 
1
;2
2
M . 
Bài 3.46: Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết 
1;4 , 1;3M N là trung điểm của BC, CA và 
1 5
;
3 3
H là trực tâm 
tam giác ABC . 
§3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 
 DẠNG 1. Bài toán liên quan đến khoảng cách từ một điểm tới 
một đường thẳng. 
Bài tập luyện tập: 
Bài 3.47: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong các trường 
hợp sau: 
a) (1; 1)M và : 5 0d x y b) 3;2M và d là trục Ox . 
c) ( 3;2);( ) : 2 3M d x d) 
2 2
(5; 2);( ) :
5
x t
M d
y t
 7 
Bài 3.48: Cho hai đường thẳng 
1 2: 2 3 1 0; : 4 6 3 0d x y d x y 
a) Chứng minh rằng 1 2/ /d d 
b) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng 1d và 2d . 
c) Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều 1 2,d d . 
Bài 3.49: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 2; 1E và cách 
điểm 3; 1F một đoạn bằng 3. 
Bài 3.50: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm 
2;3I và cách đều hai điểm 5; 1A và 3;7B . 
Bài 3.51: a) Cho hai điểm 2;2 , 5;1A B . Tìm điểm C trên đường 
thẳng : 2 8 0x y sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 . 
b) Cho tam giác ABC có 2; 4 , 0; 2A B và C nằm trên đường thẳng 
3 1 0x y ; diện tích tam giác ABC bằng 1 (đơn vị diện tích). Hãy 
tìm toạ độ điểm C. 
Bài 3.52: a) Cho hai đường thẳng 
1 2: 2 3 5 0; : 3 2 2 0d x y d x y . Tìm M nằm trên Ox cách 
đều 1d và 2d . 
b) Cho 3 đường thẳng 
1 2 3
1 2
: ; : 6 8 1 0; : 4 3 2 0
1
x t
d d x y d x y
y t
. Tìm M nằm 
trên 1d cách đều 2d và 3d . 
Bài 3.53: Cho 2 điểm 2;1 , 3;2A B và đường thẳng 
: 4 3 5 0d x y . Tìm điểm M cách đều A, B đồng thời khoảng cách từ 
M đến d bằng 2. 
Bài 3.54: Cho điểm 3;1A . Xác định hai điểm B và C sao cho OABC là 
hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất. Viết phương trình 2 đường 
chéo của hình vuông đó. 
Bài 3.55: Cho hai điểm 1;1 , 4; 3A B . Tìm điểm C thuộc đường thẳng 
– 2 – 1 0x y sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. 
Bài 3.56: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 4, hai đỉnh 
1; 2 , 2; 3A B và trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đường 
thẳng : 2 0d x y . Tìm toạ độ điểm C. 
 8 
Bài 3.57: Cho tam giác ABC có 0;1A và phương trình các đường cao 
' : 2 1 0BB x y , ' : 3 1 0CC x y . Tính diện tích tam giác 
ABC . 
Bài 3.58: Cho các điểm 1;0 , 2;4 , 1;4 , 3;5A B C D . Tìm tập 
hợp điểm M sao cho diện tích hai tam giác MAB và MCD bằng nhau. 
Bài 3.59. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết 
1;0 , 0;2A B và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng 
y x . Tìm tọa độ đỉnh C và D. 
Bài 3.60. Cho các điểm 2;3 , 5;2 , 8;6A B C và một đường thẳng 
: 5 0d x y . Tìm trên d một điểm D sao cho hình vuông MNPQ có 
các cạnh lần lượt đi qua các điểm , , ,A B C D có diện tích lớn nhất. 
Bài 3.61. Cho ba điểm 2;3 , 4; 1 , 4;5A B C . Viết phương trình 
đường thẳng đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ các điểm B và C đến 
đường thẳng đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 3.62 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho tam giác ABC 
vuông tại C. Biết 3;0A , đỉnh C thuộc trục tung và có tung độ nhỏ hơn 1 , 
điểm B nằm trên đường thẳng : 4 3 12 0x y . Tìm tọa độ trọng 
tâm G của tam giác ABC, biết tam giác ABC có diện tích bằng 6 . 
 DẠNG 2: Bài toán liên quan đến góc giữa hai đường thẳng. 
Bài tập luyện tập. 
Bài 3.63: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1d và 2d trong các trường hợp 
sau: 
1 2
1 3
) : ; : 3 2 2 0
2
x t
a d d x y
y t
1 2) : 1 0; : 2 1 0b d x my d x y m 
Bài 3.64: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với một góc 
 biết: 
 0) ( 2; 1); : 3 2 1 0; 30a M x y 
 0) (4;1); ; 60b M Oy 
 9 
Bài 3.65 : Cho hình vuông có đỉnh 4;5A và một đường chéo nằm trên 
đường thẳng có phương trình 7 8 0x y . Lập phương trình các cạnh 
và đường chéo thứ hai của hình vuông. 
Bài 3.66: Cho ABC cân đỉnh A . Biết phương trình các đường thẳng AB, 
BC là : 1 0; : 2 3 5 0AB x y BC x y . 
Viết phương trình đường thẳng AC biết nó đi qua 1;1M . 
Bài 3.67: Cho ABC đều biết: 2;6A và : 3 3 6 0BC x y . Viết 
phương trình các cạnh còn lại. 
Bài 3.68. Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. Viết phương trình 
đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác, biết tọa độ chân các đường cao hạ 
từ các đỉnh , ,A B C tương ứng là ' 1; 2 , ' 2;2 , ' 1;2A B C 
Bài 3.69: Trong mặt phẳng với hệ trục ,Oxy cho các điểm (1; 2), (4; 3).A B 
Tìm tọa độ điểm M sao cho 0135MAB và khoảng cách từ M đến đường 
thẳng AB bằng 
10
2
. 
Bài 3.70: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD 
(AB//CD, AB<CD). Biết 0;2 , 2; 2A D và I nằm trên đường thẳng 
4 0x y sao cho AID 0= 45 (với I = AC  BD). Tính tọa độ các 
đỉnh còn lại của hình thang.