Bài giảng Toán Lớp 12 - Phương trình tiếp tuyến và biện luận - Trường THPT Quang Trung

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ BIỆN LUẬN 
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG 
BÀI TỐN BIỆN LUẬN VÀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 
 Bài toán 1 : Tìm giao điểm của 2 đường : 
Cho (C 1 ) : y = f(x ) ; (C 2 ) : y = g(x ) 
 Giải tìm hoành độ giao điểm : f(x ) = g(x ) 
Biện luận số giao điểm của đồ thị theo m 
Vẽ đồ thị của y = (x 2 – 6x + 3)/(x + 2) và y = x – m 
 trên cùng hệ trục toạ độ 
y 
x 
-1 
O 
 -8 
 8 
3/2 
-2+ 19 
-10+2 19 
-2- 19 
-10-2 19 
y = x 
Nhìn vào đồ thị thì m = 8 đường y = x – 8 là tiệm cận xiên ( nên không cắt đồ thị (C)) . 
b) m 8 đường y = x – 8 luôn cắt (C) tại 1 điểm 
 Cách 2 : 
 Giải bằng phương pháp tìm giao điểm hoành độ : 
 Biện luận : 
 * m = 8 hệ vô nghiệm (0.x = 2.8 + 3 = 19) : 
 * m 8 hệ có nghiệm : 
 Xét x = - 2 
 * Vậy với m 8 hai đồ thị luôn cắt nhau tại 1 điểm 
 Ví dụ 2 : a) Vẽ đồ thị y = x 3 + 3x 2 – 2 
 b) Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình : 
 x 3 + 3x 2 – 2 = m 
Vẽ đồ thị : 
y = x 3 + 3x 2 – 2 
y = m 
y 
x 
O 
2 
-2 
-2 
-1 
 -1+ 3 
 -1- 3 
 y = m 
 m 
y = x 3 + 3x 2 – 2 
 Biện luận : 
y 
x 
O 
 2 
 -2 
 -2 
 y = 2 
*) m = 2 pt có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn 
 y = -2 
*) m = - 2 pt có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn 
y = m > 2 
 Biện luận : 
y 
x 
O 
 2 
 -2 
 -2 
*) m > 2 pt có 1 nghiệm đơn 
y = m < - 2 
*) m < - 2 pt có 1 nghiệm đơn 
 Biện luận : 
y 
x 
O 
 2 
 -2 
 -2 
 -2 < m < 2 
*) - 2 < m < 2 pt có 3 nghiệm đơn 
 Biện luận : 
y 
x 
O 
 2 
 -2 
 -2 
 y = 2 
 y = -2 
*) m = - 2 ; 2 pt có 1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn 
 y > 2 
 y < - 2 
*) m 2 pt có 1 nghiệm đơn 
 -2 < y < 2 
*) - 2 < m < 2 pt có 3 nghiệm đơn 
 * Củng cố cách vẽ đồ thị : 
y = x 3 + 3x 2 – 2 và y = m trên cùng 1 hệ trục toạ độ 
y 
x 
O 
2 
-2 
-2 
-1 
 -1+ 3 
 -1- 3 
 y = m 
 m 
y = 2 
y = - 2 
 -2 < m < 2 
 m < - 2 
 m > 2 
 Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến : 
 a) Viết pttt tại M 0 (x 0 ; y 0 ) (C) : y = f(x ) . 
 y – y 0 = y’(x 0 ) (x – x 0 ) 
 b) Viết pttt với (C) đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ) (C) : 
 . Lập pt đt đi qua M 1 có hệ số góc k : 
 (d) : y – y 1 = k (x – x 1 ) 
 . Để (d) là tt với (C) tại điểm có hoành độ x 0 thì : 
hệ có nghiệm 
 * Chú ý : Nếu 
 (C 1 )  (C 2 ) 
 Ví dụ : 
 Viết pttt với (C) : y = (2 – x 2 ) 2 đi qua điểm A(0 ; 4) . 
 * Pt đt đi qua A có hệ số góc k : (d) : y – 4 = k ( x – 0 ) 
 hệ có nghiệm : 
 Vậy có : 
 * Để (d) là tt của (C) tại điểm có hoành độ x 0 thì : 
 3 x 0 4 – 4 x 0 2 = 0 có nghiệm . 
c) Viết pttt với (C) có hệ số góc k : 
 . Giải pt f’(x ) = k tìm các nghiệm là toạ độ tiếp điểm . 
 . Viết pttt : (d) : y – y 1 = k (x – x 1 ) 
. (d) vuông góc với 4y = x + 1 hệ số góc (d) : k = - 4 
 Ví dụ : Viết pttt với (C) y = – x 3 + 3x 2 – 4x + 2 
 và vuông góc với đt : 4y = x + 12 
. (d) tiếp xúc (C) - 4 = - 3 x 2 + 6x – 4 
x = 0 ; x = 2 
Vậy x = 0 y = 2 pttt : y – 2 = - 4 (x – 0) 
 y = - 4 x + 2 
 x = 2 y = - 2 pttt : y + 2 = - 4 (x – 2 ) 
 y = - 4 x + 6 
 . Củng cố và dặn dò : 
 Làm các bài tập : 3,4,5 trang 104 s.g.k . 
 BÀI TẬP LIÊN QUAN KHẢO SÁT 
1) KIỂM LẠI : Lý thuyết : Biện luận ; viết pttt 
2) Bài tập số 3 trang 104 
 a) Khảo sát hàm số : y = x 3 3x 1 (1) 
 b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) , biện luận số 
nghiệm của phương trình sau theo m : x 3 3x m = 0 
 c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết 
 tiếp tuyến đó song song đường thẳng : y = 9x 1. 
 . Tập xác định : D = R 
 . y’ = - 3x 2 + 3 
 . y’ = 0 -3(x 2 - 1) = 0 x 1 = -1 ; x 2 = 1 
. Bảng biến thiên : 
 x - - 1 0 1 + 
 y’ - 0 + + 0 - 
 y + 3 
 -2 - 
Giải : 
a) Khảo sát hàm số : y = - x 3 + 3x + 1 
 * Đồ thị : 
. Tìm điểm cắt trục toạ độ : 
 x 0 
 y 1 
 -1 
 0 
 1 
 x 
 y 
- 2 
 3 
 1 
Giải : 
 b) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm pt : 
 x 3 – 3 x + m = 0 
. Biến đổi x 3 – 3x + m = 0 - x 3 + 3x + 1 = m + 1 
. Vẽ 2 đồ thị : y = - x 3 + 3x + 1 (C) và y = m + 1 
y 
 x 
 o 
 - 1 
 1 
 - 2 
 3 
 (C) 
 y = m + 1 
 m +1 
. Cố định (C) và di động (d) : y = m + 1 
 Biện luận tìm số nghiệm 
y 
 x 
 o 
 - 1 
 1 
 3 
 - 2 
(C) 
(d) :y = 3 
* m+1 = 3 m = 2 
 (d)  (C) tại 2 điểm 
 pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn 
m+1 
(d) :y = - 2 
 m+1 
* m+1 = - 2 m = - 3 
 (d)  (C) tại 2 điểm 
 pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn 
(d) : y > 2 
* m+1 > 3 m > 2 
 (d)  (C) tại 1 điểm 
 pt có 1 nghiệm đơn 
(d) :y < - 2 
 m+1 
* m+1 < - 2 m < - 3 
 (d)  (C) tại 1 điểm 
 pt có 1 nghiệm đơn 
(d) :-2 < y < 3 
 m+1 
* -2 < m+1 < 3 -3 < m < 2 
 (d)  (C) tại 3 điểm 
 pt có 3 nghiệm đơn 
y 
 x 
 o 
 - 1 
 1 
 3 
 - 2 
(C) 
(d) :y = 3 
* m+1 = 3 m = 2 
 (d)  (C) tại 2 điểm 
 pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn 
m+1 
(d) :y = - 2 
 m+1 
* m+1 = - 2 m = - 3 
 (d)  (C) tại 2 điểm 
 pt có nghiệm 1 kép ; 1 đơn 
(d) : y > 2 
 m+1 
* m+1 > 3 m > 2 
 (d)  (C) tại 1 điểm 
 pt có 1 nghiệm đơn 
(d) :y < - 2 
 m+1 
* m+1 < - 2 m < - 3 
 (d)  (C) tại 1 điểm 
 pt có 1 nghiệm đơn 
(d) :-2 < y < 3 
 m+1 
* -2 < m+1 < 3 -3 < m < 2 
 (d)  (C) tại 3 điểm 
 pt có 3 nghiệm đơn 
c) Phương trình tiếp tuyến . 
( ) // y = 9x 1 
Pttt có dạng : 
 có 2 tt là :