Bài giảng Toán Lớp 12 - Phương trình mũ và phương trình logarit - Trường THPT Quang Trung

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 
I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Bài toán : 
Một người gửi tiền tiết kiệm với lãi suất 8,4 % năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn . Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu . 
Giải : 
Gọi số tiền gửi ban đầu là P . Sau n năm , số tiền thu được là : 
Để P n = 2P ta phải có : 
Vì n N * nên chọn n = 9 ( năm ) : 
Những bài toán như trên đưa đến giải các phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của lũy thứa . Ta gọi đó là các phương trình mũ . 
Ví dụ các phương trình : 
Là các phương trình mũ . 
1. Phương trình mũ cơ bản : 
Phương trình mũ cơ bản có dạng : a x = b ( a > 0 ; a ≠ 1) 
Để giải phương trình trên ta sử dụng định nghĩa lôgarit : 
 Với b > 0 , ta có a x = b x = log a b 
 Với b 0 , phương trình vô nghiệm 
click 
Minh họa bằng đồ thị : 
Đồ thị : 
0 
 log a b 
 1 
b 
x 
y 
y = a x ( a > 1) 
Đồ thị : 
0 
log a b 
 1 
b 
x 
y 
y = a x ( 0<a <1) 
y = b 
y = b 
Hoành độ giao điểm của đồ thị y = a x và y = b là nghiệm của phương trình : a x = b 
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị . 
Trên đồ thị với b 0 thì 2 đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm . 
với b > 0 thì 2 đồ thị luôn cắt nhau taị một điểm inên phương trình có nghiệm duy nhất . 
Kết luận : 
Phương trình a x = b ( a > 0 ; a ≠ 1) 
b > 0 
Có nghiệm duy nhất x = log a b 
b 0 
Vô nghiệm 
click 
Ví dụ 1 : 
Giải phương trình 
Giải : 
Đưa vế trái về cùng cơ số 4 có : 
hay 
Vậy 
2. Cách giải một số phương trình mũ đơn giản : 
Người ta thường dùng một số phương pháp sau : 
a) Đưa về cùng cơ số : 
Giải phương trình 6 2x - 3 = 1 bằng cách đưa về dạng a A(x ) = a B(x ) và giải : A(x ) = B(x ) 
Có 6 2x - 1 = 1 = 6 0 2x - 1 = 0 x = 1/2 
Ví dụ 2 : 
Giải phương trình 
Giải : 
Đưa 2 vế về cùng cơ số : 
b) Đặt ẩn phụ : 
Ví dụ 3 : 
Giải phương trình 
Giải : 
Đặt t = 3 x > 0 , ta có : 
Loại vì t > 0 
Giải phương trình 
Bằng cách đặt ẩn phụ : t = 5 x 
Học sinh giải tại lớp 
click 
c) lôgarit hóa : 
Ví dụ 4 : 
Giải phương trình 
Giải : 
Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 ( còn gọi là lôgarit hóa ) , có 
Ví dụ trắc nghiệm : 
Số nghiệm của phương trình 
Là : 
A 
0 
B 
1 
C 
2 
D 
3 
click 
II- PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit 
Ví dụ các phương trình : 
1. Phương trình lôgarit cơ bản : 
Tính x biết 
Theo định nghĩa lôgarit có : 
Vậy phương trình lôgarit cơ bản có dạng : 
Minh họa bằng đồ thị : 
Đồ thị : 
0 
a b 
 1 
b 
x 
y 
y = log a x ( a > 1) 
Đồ thị : 
0 
a b 
 1 
b 
x 
y 
y = log a x ( 0<a <1) 
y = b 
y = b 
Hai đồ thị này luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b thuộc R Phương trình luôn có x = a b 
click 
2. Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản : 
a) Đưa về cùng cơ số : 
Giải phương trình log 3 x + log 9 x = 6 . Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số 
Có 
Ví dụ 5 : 
Giải phương trình : log 3 x + log 9 x + log 27 x = 11 
Giải : 
Đưa các số vế trái cùng cơ số 3 , ta có : 
b) Đặt ẩn phụ : 
Giải phương trình 
Bằng cách đặt ẩn phụ t = log 2 x 
Hs tự giải 
Ví dụ 6 : 
Giải phương trình : 
Giải : 
Điều kiện của phương trình : x > 0 ; log x ≠ {5 ; - 1} 
Đặt t = log x có : 
Giải phương trình 
Bằng cách đặt ẩn phụ t = log 2 x 
Hs tự giải 
click 
c) Mũ hóa : 
Ví dụ 7 : 
Giải phương trình : 
Giải : 
Điều kiện của phương trình : 5 – 2 x > 0 0 < 2 x < 5 
Vậy có : 
( Đay được gọi là phép mũ hóa ) 
Đặt t = 2 x > 0 
Ví dụ bằng trắc nghiệm : 
Nghiệm của phương trình : 10 log 9 = 8x + 5 là : 
A 
 0 
B 
1/2 
C 
 5/8 
D 
 7/4 
III - Bài tập về nhà : 
Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 84 – 85 sách giáo khoa GT12 - 2008 
click