Bài giảng Toán Lớp 12 - Ôn tập Chương I: Khối đa diện - Trường THPT Quang Trung

TR ƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG 
Ơn tập c hương I : KHỐI ĐA DIỆN 
ChươngI : KHỐI ĐA DIỆN 
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT : 
I . KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN : 
	 Hình đa diện ( đa diện ) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn 2 tính chất : 
	+) Hai đa giác phân biệt chỉ cĩ thể hoặc khơng cĩ điểm chung , hoặc cĩ một đỉnh chung , hoặc cĩ một cạnh chung . 
	+) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng 2 đa giác . 
Mỗi đa giác như vậy được gọi là một mặt của hình đa diện . Các đỉnh , cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh , cạnh của hình đa diện . 
II. KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN : 
Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện , kể cả hình đa diện đĩ . 
	 Những điểm khơng thuộc khối đa diện được gọi là diểm ngồi của khối đa diện . Những điẻm thuộc khối đa diện nhưng khơng thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện đĩ được gọi là điểm trong của khối đa diện . Tập hợp các điểm trong gọi là miền trong , tập hợp các điểm ngồi được gọi là miền ngồi của khối đa diện . 
	Ta cũng gọi đỉnh , cạnh , mặt , điểm trong , điểm ngồi ... của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh , cạnh , mặt , điểm trong , điểm ngồi ... của hình đa diện tương ứng . 
III. HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU : 
1. Phép dời hình trong khơng gian : 
	 Phép biến hình trong khơng gian được gọi là phép dời hình nếu nĩ bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ ý. 
2. Một số phép dời hình thường gặp 
	a) Phép tịnh tiến theo vectơ 
là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho = 
	 b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc (P) thành chính nĩ , biến mỗi điểm khơng thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phăng trung trực của MM’. 
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nĩ thì mặt phẳng (P) được gọi là mạt phẳng đối xứng của hình (H). 
c) Phép đối xứng tâm O là phép biến hình biến điểm O thành chính nĩ , biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm MM’ 
	 Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nĩ thì O được gọi tâm đối xứng của hình (H). 
d ) phép đối xứng qua đường thẳng d (hay phép đối xứng qua trục d) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc d thành chính nĩ , biến mỗi diểm M khơng thuộc d thành M’ sao cho d là dường trung trực của MM’ 
	 Nếu phép đối xứng qua đường thẳng d biến hình (H) thành chính nĩ thì d được gọi là trục đối xứng của (H). 
3. Nhận xét : 
	+) Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình . 
	+) Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’) và biến đỉnh , cạnh , mặt của hình (H) thành đỉnh , cạnh , mặt tương ứng của (H’). 
	 Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu cĩ một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia . 
IV. PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN 
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) sao cho (H 1 ) và (H 2 ) khơng cĩ điểm chung trong thì ta nĩi cĩ thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ), hay cĩ thể lắp ghép được hai khối đa diện (H 1 ) và (H 2 ) với nhau để được khối đa diện (H). 
V. KHỐI ĐA DIỆN LỒI 
Khốiđa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luơn thuộc (H). Khi đĩ các đa diện xác định (H) được gọi là các đa diện lồi . 
	 Một khối đa diện là lồi khi và chỉ khi miền trong của nĩ luơn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mạt của nĩ . 
VI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU  
1. Định nghĩa : 
	 Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại {p; q} nếu : 
	+) Mỗi mặt của nĩ là một đa giác đều p cạnh ; 
	+) Mỗi đỉnh của nĩ là đỉnh chung của đúng q mặt . 
	 Vậy các mặt của khối đa diện đều là các mặt bằng nhau . 
VI. KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU  
2. Định lý : 
	 Cĩ năm loại khối đa diện đều . Đĩ là các khối đa diện đều loại : 
	 {3; 3}: khối tứ diện đều 
	 {4; 3}: khối lập phương 
	 {3; 4}: khối bát diện đều ( khối tám mặt đều ) 
	 {5; 3}: khối 12 mặt đều 
	 {3; 5}: khối hai mươi mặt đều . 
VII . THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN 
+) Thể tích V của khối chĩp cĩ diện tích đáy B và chiều cao h là V =1/3. Bh 
	+) Thể tích V của khối lăng trụ cĩ diện tích đáy B và chiều cao h là V = Bh 
	+) Thể tích của khối hộp bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nĩ . 
	+) Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nĩ . 
	+) Thể tích của hình lập phương cĩ cạnh bằng a bằng a 3 
VII . THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN  
Chú ý: Thể tích của hai khối đa diện đồng dạng bằng lập phương tỉ số đồng dạng . 
	 Trong một số bài tốn ta thường sử dụng kết qủa sau : 
	 Cho khối chĩp S.ABC. Trên SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. Khi đĩ : 
B. BÀI TẬP 
Bài 1 . Chứng minh rằng một đa diện cĩ các mặt là những tam giác thì tổng số các mặt của nĩ phải là số chẵn . Cho ví dụ . 
 Giải : 
 Giả sử đa diện (H) cĩ m mặt . 
 Vì mỗi mặt cĩ 3 cạnh nên tổng số cạnh của m mặt là : 3m 
 Mà mỗi cạnh là cạnh chung của đúng 2 mặt nên số cạnh của (H) là : 
 Do c là số nguyên nên m phải là số chẵn . 
Ví dụ : tứ diện . 
Bài 2 . Chứng minh rằng : trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều . 
 Giải : 
 Cho tứ diện ABCD , cạnh bằng a . Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, BC, CD và DA . 
 Ta chứng minh các cạnh IN, IE, IM, IF, JN, JE, JM, JF đều cĩ độ dài bằng a/2.  Thật vây , đĩ là các đường trung bình của các tam giác CAD , ABD, ACB, BCD .  Vì AB = AC = AD = CB = a (ABCD là tứ diện đều )  Nên IN = IE = IM = IF = JN = JE = JM = JF = a/2.  Suy ra các tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN, JNE là các tam giác đều bằng nhau .  Tám tam giác trên tạo thành một đa diện cĩ các đỉnh là I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 tam giác đều . Do đĩ đa diện ấy là đa diện đều loại { 3; 4 }, tức là hình bát diện đều .  
 Bài 3 . Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’ . Đường thẳng CE cắt đường thẳng C’A’ tai E’ . Đường thẳng CF cắt đường thẳng C’B’ tại F’ . Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.  a)     Tính thể tích khối chĩp C.ABFE theo V .  b)     Gọi khối đa diện (H) là phần cịn lại của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ sau khi cắt bỏ đi khối chĩp C.ABFE . Tính tỉ số thể tích của (H) và của khối chĩp C.C’E’F’ .  
Giải :  a)     Hình chĩp C.A’B’C’ và hình lăng trụ ABC.A’B’C’ cĩ đáy và đường cao bằng nhau nên  
Từ đĩ suy ra . 
Do EF là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’ nên diện tích ABFE bằng nủa diện tích ABB’A’. Do đĩ 
b) Áp dụng câu a) ta cĩ 
Vì EA’ song song và bằng 
nên theo định lý Talet , A’ là trung điểm của E’C’ . Tương tự , B’ là trung điểm của F’C’. 
 Do đĩ : 
Suy ra : 
Vậy : 
Bàai 4 . Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 3 ; SB = SC = 4. 
 1> Tính thể tích của khối tứ diện A.SBC. 
 2> Tính diện tích tam giác ABC. Suy ra khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC). 
1) 
= ( đvdt )	 
	3 
2) Gọi h = d(	S/(ABC)) 
 h = 
Ta cĩ : Tam giác SAC vuông tại S nên : AC 2 =SA 2 +SC 2 = 9 + 16=25. 
Vậy AC = 5 
Tương tự : AB =5 và BC = 4 
Vì AB = AC nên tgiác ABC cân tai A. Nên AI là đường cao của tam giác ABC 
S ABC = .AI.BC 
Áp dụng đ/lý Pitago trong tam giác vuơng ABI cĩ : 
SI 2 = SB 2 - (BC/2) 2 = 5 2 - (2 ) 2 = 17 
 SI = 
 S ABC = 2 
Vậy h = 3.8/2 =12/ 
Bài 5: Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng ở B. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy . Biết AB = 3a, SA = 4a, AC = a 
	a) Tính thể tích khối chĩp S.ABC. 
	b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). 
 = 
	 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuơng tại B, ta cĩ : 
	BC 2 = AC 2 - AB 2 = 13a 2 - 9a 2 = 4a 2 BC = 2a 
	 Vậy 
 = .4a.3a.2a = 4a 3 
b) Gọi h = d(A/(SBC)) 
	Ta cĩ : = V A.SBC = 
 h = 
	Theo định lý 3 đường vuơng gĩc , BC vuơng gĩc với hình chiếu AB của đường xiêng SB nên BC vuơng gĩc với SB. 
 = 
với SB 2 = SA 2 + AB 2 = 16a 2 + 9a 2 = 25a 2 SB = 5a 
 = .5a.2a = 5a 2 
Vậy h = = a