Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
§3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 
I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 
HOẠT ĐỘNG 1 : Hãy tính diện tích hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : y = – 2x – 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5 
S 1 =S ABCD = (AD+BC) x AB/2 = 28 
Ở Hđ1 bài 2 ta đã tính diện tích S của hình thang vuông giới hạn bởi các đường thẳng : 	y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5. 
y = – 2x – 1 
y = 2x + 1 
S 
S 1 
Các em hãy so sánh diện tích hai hình S và S1, cho nhận xét. 
1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành : 
Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b] . 
O 
x 
y 
a 
b 
A 
B 
Được biết cách tính diện tích hình thang cong y = f(x) ; trục hoành và x = a , x = b 
Trường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0 
và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong 
B’ 
A’ 
aA’B’b 
là hình đối xứng của 
 hình thang đã cho qua trục hoành . Do đó : 
S 
Trường hợp tổng quát : 
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên) 
O 
x 
y 
a 
b 
y = f(x) 
Được tính theo công thức : 
Ví dụ 1 : 
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x 3 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 1 , x = 2 
Giải : 
Ta có x 3 < 0 trên đoạn [- 1 ; 0] 
 x 3 ≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ] 
Áp dụng công thức có : 
2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong : 
Cho hai hàm số y = f 1 (x) và y = f 2 (x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b . 
O 
x 
y 
a 
b 
y = f 1 (x) 
y = f 2 (x) 
D 
Xét trường hợp f 1 (x) ≥ f 2 (x) với mọi x [a ; b] 
Gọi S 1 , S 2 là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường cong y = f 1 (x) , y = f 2 (x) tương ứng . 
Khi đó diện tích D sẽ là : 
trường hợp tổng quát và có 
Chú ý : 
Khi áp dụng công thức (4) , cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích phân . Ta phải giải phương trình : f 1 (x) – f 2 (x) trên đoạn [a ; b] . Giả sử có 2 nghiệm c < d . Khi đó f 1 (x) – f 2 (x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b]. Ví dụ trên [a ; c] thì : 
Ví dụ 2 : 
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y = sin x , và hai đường thẳng x = 0 , x = . 
Giải : 
Đặt f 1 (x) = cos x ; f 2 (x) = sin x 
Ta có : f 1 (x) - f 2 (x) = cosx - sin x = 0 
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là : 
Ví dụ 3 : 
Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong 
 y = x 3 – x và y = x – x 2 
Giải : 
Ta có : f 1 (x) - f 2 (x) = (x 3 – x) – (x – x 2 ) = 0 
Vậy diện tích hình phẳng đã cho là : 
II - TÍNH THỂ TÍCH 
Hoạt động 2 
Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy bằng B , đường cao h ? 
V = B h 
1. Thể tích của vật thể : 
Cho một vật thể (Hình vẽ) 
O 
x 
Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a và x = b ( a < b) 
P 
Q 
a 
b 
Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a x b) , cắt hình đã cho theo thiết diện có diện tích S(x) . 
x 
S(x) 
Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ; b] 
Người ta đã chứng minh được : Thể tích V của phần vật thể trên giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức : 
Ví dụ 4 : 
Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h . 
Giải : 
O 
x 
h 
Chọn trục Ox song song đường cao của khối lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h . 
Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox .cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi bằng B ( S(x) = B với 0 x h ) 
x 
S(x) = B 
Áp dụng công thức (5) có : 
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt : 
a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B . 
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I 
B 
O 
x 
I 
sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và hướng xác định bởi véc tơ 
h 
Lúc đó OI = h 
Một mặt phẳng ( ) vuông góc với Ox tại x ( 0 x h) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích là S(x) . 
x 
S(x) 
Ta có : 
Và thể tích V của khối chóp là : 
2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt : 
b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h 
Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn (P) tại điểm I . Mp đáy nhỏ (Q) tại I’ . 
B 
S  O 
x 
I 
Đặt đỉnh S trùng với O . OI = b ; OI’ = a ( a < b) 
h 
Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có : 
Q 
I’ 
B’ 
P 
Vì : 
và h = b – a 
nên 
III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 
Bài toán : 
Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay . 
x 
Hãy tính thể tích V của nó . 
Giải : 
Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a x b) là hình tròn 
O 
y 
y = f(x) 
a 
b 
x 
có bán kình : |f(x)| 
Nên diện tích thiết diện là : S(x) = .f 2 (x) 
Vậy theo công thức (5) có : 
Ví dụ 5 : 
Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = . Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình này xung quanh trục Ox . 
Giải : 
O 
y 
y = sinx 
x 
x 
Áp dụng công thức (6) có : 
Ví dụ 6 : 
Tính thể tích hình cầu bán kính R . 
O 
y 
x 
- R 
R 
Giải : 
Hình cầu bán kính R là khối tròn thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường 
( - R x R ) , và đường thẳng y = 0 xung quanh trục Ox . 
Vậy 
Củng cố : Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) 
S 1 
S 2 
Cho hai đường cong (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x); các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối) 
y = f(x) 
y = g(x) 
y = g(x) 
y = f(x) 
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 
O 
y 
y = f(x) 
a 
b 
x