Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 2: Tích phân - Trường THPT Quang Trung

CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM –TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
 §2 : Tích phân 
I - KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN 
1. Diện tích hình thang cong : 
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1 , trục hoành và 2 đường thẳng x = 1 , x = t ( 1 t 5) . Hình vẽ 
O 
x 
 y 
1 
1 
 3 
t 
5 
 y = 2 x + 1 
S (t) 
1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 
O 
x 
 y 
1 
1 
 3 
t 
5 
 y = 2 x + 1 
S 
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t [1 ; 5] 
3. Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 với t [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1) 
11 
Giải : 
1 . Tính diện tích S của hình T khi t = 5 
Diện tích S là : 
2. Tính diện tích S(t) của hình T khi t [1 ; 5] 
O 
x 
 y 
1 
1 
 3 
t 
5 
 y = 2 x + 1 
S (t) 
2t + 1 
Diện tích S(t) là : 
Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của 
 f(t) = 2t + 1 với t [1 ; 5] và diện tích S = S(5) - S(1) 
Chứng minh : 
 Xét S’(t) = (t 2 + t - 2 ) ’ = 2 t + 1 = f(t) 
Vậy có : 
Xét diện tích : S(5) = 7.4 và S(1) = 3.0 = 0 Vậy S = S(5) - S(1) = 28 
Cho hàm số y = f(x) liên tục , không đổi dấu trên đoạn [a ; b] . Hình phẳng giới hạn bởi : 
Đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành , và hai đường thẳng x = a ; x = b được gọi là hình thang cong 
O 
 y 
a 
f(a) 
b 
 y = f(x) 
f(b) 
x 
Bây giờ xét một đường cong kín bất kỳ Hình D thì ta chia hình đó (hình vẽ) 
Bằng cách kẻ các đường thẳng song song với các trục tọa độ , chia D thành những hình thang cong .Dẫn đến tính diện tích các hình thang cong . 
Ví dụ 1 : 
Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = x 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 ; x = 1 
Giải : 
Với mỗi x [0 ; 1] 
O 
 y 
x 
1 
1 
 y = x 2 
x 
S(x) 
Gọi S(x) là diện tích của phần hình thang cong đã cho nằm 
giữa 2 đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ 0 và x . Ta chứng minh : S’(x) = x 2 x [0;1] 
O 
 y 
x 
1 
1 
 y = x 2 
x 
Thật vậy với h > 0 , x + h < 1 và kí hiệu : S MNPQ và S MNEF là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF . Ta có S MNPQ S(x+h) - S(x) S MNEF hay hx 2 S(x+h) - S(x) h(x+h) 2 
x+h 
M 
 N 
Q 
P 
E 
F 
Vậy có : 
Và với h 0 . Tính toán tương tự cũng có 
Tóm lại với mọi h ≠ 0 thì : 
Suy ra : 
Cũng có S’(0) = 0 ; S’(1) = 1 
Do đó S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x 2 trên đoạn [0 ; 1] . 
Mặt khác trên đọan đó F(x) = 
Cũng là một nguyên hàm của f(x) = x 2 nên 
Với giả thiết S(0) = 0 nên suy ra C = 0 . Vậy : 
Thay x = 1 vào ta có : diện tích cần tìm là : S(1) = 
Bây giờ xét một đường cong bất kỳ , biễu diễn bằng (hình vẽ) 
O 
 y 
a 
f(a) 
b 
 y = f(x) 
f(b) 
x 
x 
S(x) 
Kí hiệu : S(x) là diện tích hình thang cong . 
Ta chứng minh được : S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a ; b] 
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì có hằng số C 
Sao cho : S(x) = F(x) + C 
Vì S(a) = 0 nên F(a) + C = 0 hay C = - F(a) 
Vậy S(x) = F(x) – F(a) 
Thay x = b vào có : S(b) = F(b) – F(a) 
2. Định nghĩa tích phân : 
Giả sử f(x) là hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) . Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a) tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm ) 
Định nghĩa : 
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đọan [a ; b] . 
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay gọi là tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số f(x)) . 
 Kí hiệu là : 
Ta gọi 
là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên 
f(x) dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân . 
Chú ý : Trong trường hợp a = b hay a > b , ta quy ước : 
Ví dụ 2 : 
Tính : 
Nhận xét : 
a) Tích phân chỉ phụ thuộc vào f và các cận a , b ; không phụ thuộc vào biến số x . : 
b) Ý nghĩa hình học của tích phân : 
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b] , thì tích phân 
là diện 
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị f(x) , trục Ox và hai đường x = a ; x = b . Vậy 
II - TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN 
Tính chất 1 : 
( k là hằng số ) 
Tính chất 2 : 
Tự chứng minh các tính chất này : 
Ví dụ 3 : 
Tính : 
Giải : 
Ta có : 
Tính chất 3 : 
( a < c < b ) 
Chứng minh : 
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] . Khi đó , F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên mỗi đoạn [a ; c} và [c ; b] 
Do đó ta có : 
Ví dụ 4 : 
Tính : 
Giải : 
Ta có : 
Vì : 
nên : 
II I- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
1. Phương pháp đổi biến số : 
Cho tích phân : 
a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2 
b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du 
c) Tính 
và so sánh kết quả của I trong câu 1. 
Giải : 
a) Tìm I bằng cách khai triển (2x + 1) 2 
b) Đặt u = 2x + 1 . Biến đổi biểu thức (2x + 1) 2 dx thành g(u).du 
Ta có : 
Vậy : 
c) Tính 
Ta có : u(0) = 1 ; u(1) = 3 nên 
Định lý : 
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b] . Giả sử x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoan [ ; ] sao cho ( ) = a ; (  ) = b và a (t) b với mọi t [ ; ] 
 Khi đó : 
Ví dụ 5 : 
Tính : 
Giải : 
Đặt : x = tan t 
Ta có 
Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 1 thì t = 
Do đó 
Chú ý : Trong nhiều trường hợp còn dùng phép đổi biến số dạng sau : 
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] . Để tính 
đôi khi chọn hàm số 
U = u(x) làm biến số mới , trong đó trên đoạn [a ; b] , u(x) có đạo hàm liên tục trên u(x) [ ; ] . Giả sử có thể viết : f(x) = g(u(x)).u’(x) với x [a ; b]n , g(u) liên tục 
trên đoan [ ; ] . Khi đó có : 
Ví dụ 6 : 
Tính : 
Giải : 
Đặt : u = sin x u’ = cos x 
Khi x= 0 thì u(0) = 0 ; khi x = 
thì 
Vậy 
Ví dụ 7 : 
Tính : 
Giải : 
Đặt : u = 1 + x 2 u’ = 2x ; u(0) = 1 ; u(1) = 2 nên có : 
2. Phương pháp tính tích phân từng phần : 
a) Hãy tính 
bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần 
b) Từ đó tính 
Giải : 
a) Hãy tính 
Đặt : u = x + 1 du = dx 
dv = e x dx v = e x 
nên 
b) Từ đó tính 
Từ a) có : 
Định lý : 
Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a ; b] . Thì : 
hay 
Ví dụ 8 : 
Tính : 
Giải : 
Đặt : u = x và dv = sin x.dx du = d x và v = - cos x 
Vậy có : 
Ví dụ 9 : 
Tính : 
Giải : 
Đặt : u = lnx và 
Có 
nên 
NEWTON-LEIBNITZ