Bài giảng Toán Lớp 12 - Bài 5: Bài tập về Thể tích của khối đa diện - Trường THPT Quang Trung

BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG 
MUÏC ÑÍCH – YEÂU CAÀU 
_ Naém vöõng caùc coâng thöùc veà theå tích cuûa khoái hoäp chöõ nhaät , theå tích cuûa khoái choùp , theå tích cuûa khoái laêng truï . 
_ Bieát aùp duïng caùc coâng thöùc tính theå tích ñeå tính theå tích caùc khoái ña dieän phöùc taïp hôn , baèng caùch phaân chia vaø laép gheùp caùc khoái ña dieän . 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 1: Cho khoái töù dieän SABC coù ba caïnh SA, SB, SC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau vaø SA = 3 ; SB = SC = 4. 
 1> Tính theå tích cuûa khoái töù dieän A.SBC. 
 2> Tính dieän tích tam giaùc ABC. Suy ra khoaûng caùch töø ñieåm S ñeán maët phaúng (ABC). 
C 
S 
A 
B 
3 
4 
4 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
1> Theå tích cuûa khoái töù dieän ASBC. 
C 
S 
A 
B 
3 
4 
4 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
C 
S 
A 
B 
3 
4 
4 
2> Tính dieän tích tam giaùc ABC. Suy ra khoaûng caùch töø ñieåm S ñeán maët phaúng (ABC). 
Tam giaùc SAC vuoâng taïi S neân : AC 2 =SA 2 +SC 2 = 9 + 16=25. 
Vaäy AC = 5 
Töông töï : AB =5 vaø BC = 4  2 
Vì AB = AC nên tgiác ABC cân tai A. 
Gọi I là trung điểm BC thìdiện tích tgiác ABC là S ABC = ½.AI.BC =2  34 
Goïi SH laø khoaûng caùch töø S ñeán mp(ABC ) thì : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 2: Cho khoái choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B. 
 Caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy . Bieát :AB=a, BC=b vaø SA =c. 
 Tính khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán maët phaúng (SBC). 
S 
A 
B 
C 
b 
a 
c 
Ta coù SA  BC vaø AB  BC neân BC  SB 
Ta coù : 
Maët khaùc , neáu goïi h laø khoaûng caùch töø A ñeán (SBC) thì : 
Töø (1) vaø (2)ta coù : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 3: Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = a ; BC= 2a vaø AA’ = a. Laáy ñieåm M treân caïnh AD sao cho MA = 3 MD 
 1> Tính theå tích khoái choùp M.AB’C. 
 2> Tính khoaûng caùch töø M ñeán mp(AB’C ) 
Theå tích khoái choùp M.AB’C baèng 
theå tích khoái choùp B’.ACM. 
A’ 
B’ 
C’ 
D’ 
A 
B 
C 
D 
a 
2a 
Töø giaû thieát:MA = 3 MD MA=3a/2 
Do ñoù :S AMC =MA.CD/2 = 3a 2 /4 
Vaäy : V M.A’BC =(1/3). S ACM .BB’ =a 3 /4 (1) 
1> Tính theå tích khoái choùp M.AB’C. 
M 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
A’ 
B’ 
C’ 
D’ 
A 
B 
C 
D 
a 
2a 
M 
2> d(M;(AB’C )) 
Goi h= d(M;(AB’C ). 
Khi ñoù : 
Tam giaùc AB’C coù : AB’=a 2 ; AC = CB’= a 5 
Do ñoù nöûa chu vi laø p =a 5 + ( a 2 )/2 
Theo Heâ roâng , ta coù : S AB’C = 3a 2 /2 
Vaäy : 
Töø (1) vaø (2) suy ra 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 4: Cho hình laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù ñaùy ABC laø moät tam giaùc vuoâng taïi A; AC = b ; goùc C = 60 o . Ñöôøng cheùo BC’ cuûa maët beân BB’C’C taïo vôùi mp(AA’C’C ) moät goùc baèng 30 o . 
	 1> Tính ñoä daøi ñoaïn AC’. 
 2> Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . 
Vì BA  AC ( ABC vuoâng ) 
vaø BA  AA’ ( AA’  (ABC)) 
Neân : BA  (AA’C’C) 
Do ñoù : 
Vì : BAC vaø BAC’ vuoâng taïi A neân : 
1> Tính ñoä daøi ñoaïn AC’. 
B’ 
B 
C’ 
A’ 
C 
A 
AB =AC tanC = b tan60 o = b 3 
AC’=AB cotC ’ = b 3.cot30 o =3b 
Vaäy : AC’= 3b 
30 o 
60 o 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 4: Cho hình laêng ruï ñöùng ABC.A’B’C’ coù ñaùy ABC laø moät tam giaùc vuoâng taïi A; AC = b ; goùc C = 60 o. Ñöôøng cheùo BC’ cuûa maët beân BB’C’C taïo vôùi mp(AA’C’C ) moät goùc baèng 30 o . 
	 1> Tính ñoä daøi ñoaïn AC’. 
 2> Tính theå tích cuûa khoái laêng truï . 
2> Tính theå tích khoái laêng truï : 
B’ 
B 
C’ 
A’ 
C 
A 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 5: Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC 
	 1> Bieát AB = a vaø SA = m. Tính theå tích khoái choùp . 
	 2> Bieát SA = m vaø goùc giöõa maët beân vôùi ñaùy baèng k. Tính theå tích khoái choùp . 
1> Tính t heå tích bieát AB= a;SA =m: 
S 
A 
C 
B 
O 
Goïi I laø trung ñieåm AB vaø O laø taâm cuûa ñaùy thì SO  (ABC). 
I 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 5: Cho hình choùp tam giaùc ñeàu S.ABC 
	 2> Bieát SA = m vaø goùc giöõa maët beân vôùi ñaùy baèng k. Tính theå tích khoái choùp . 
A 
B 
D 
C 
O 
Goïi b laø caïnh ñaùy . Goùc giöõa maët beân vaø ñaùy laø goùc SIO=k. 
I 
Tam giaùc SAO vuoâng taïi O neân : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 6: Cho khoái choùp S.ABC coù ñöôøng cao SA =a; ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân coù AB=BC=a. Goïi B’ laø trung ñieåm cuûa SB ; C’ laø chaân ñöôøng cao haï töø A cuûa tam giaùc SAC. 
1> Theå tích khoái choùp S.ABC: 
Dieän tích ABC laø :S ABC = a 2 /2 
S 
A 
B 
C 
1> Tính theå tích khoái choùp S.ABC 
2> Chöùng minh : SC vuoâng goùc vôùi mp(AB’C ’) 
3> Tính theå tích khoái choùp S. AB’C’ 
Theå tích khoái choùp S.ABC laø : 
 V =(1/3).(a 2 /2). a = a 3 /6 ( ñvtt ) 
2> SC vuoâng goùc vôùi mp(AB’C ’) 
B’ 
C’ 
BC  AB,BC  SA BC  (SAB),BC  AB’ 
AB’  SB, AB’  BC AB’  (SBC),AB’  SC 
SC  AB’ va CSø  AC’ SC  (AB’C’) 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
S 
A 
B 
C 
3> Tính theå tích khoái choùp S. AB’C’ 
B’ 
C’ 
Ta coù : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 7: Cho khoái hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù AB = a ; BC= b vaø AA’ = c.Goïi E vaø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa B’C’ vaø C’D’. Maët phaúng (EAF) chia khoái hoäp ñoù thaønh hai khoái ña dieän (H) vaø (H’), trong ñoù (H) laø khoái ña dieän chöùa ñænh A’. 
	 Tính theå tích cuûa ( H ) vaø ( H’ ) 
Goïi ( K ) laø töù dieän AA’IJ. 
B’ 
C’ 
D’ 
A’ 
B 
C 
D 
A 
c 
b 
Khi ñoù : V (H) = V (K) – V L.B’IE – V M.D’JF 
Vì EB’=EC vaø B’I ||C’F neân B’I=C’F=A’B’/2 
Theo ñònh lyù Ta let 
 Giaû söû ñöôøng thaúng EF caét ñöôøng thaúng A’B’ taïi I vaø caét ñöôøng thaúng A’D’ taïi J. AI caét BB’ taïi L, AJ caét Ñ’ taïi M. 
M 
Töông töï : D’J = A’D’/2 
Vaø : 
Do ñoù 
Töông töï : 
Vì 
Neân 
J 
F 
E 
L 
I 
a 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 8: Cho hai ñoaïn thaúng AB vaø CD cheùo nhau coù AC laø ñöôøng vuoâng goùc chung . Bieát raèng AC=h ; AB = a ; CD = b vaø goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø CD baèng 60 o . Tính theå tích cuûa töù dieän ABCD. 
Döïng BE || CD vaø BE=CD 
Khi ñoù ABE.FDC laø moät laêng truï ñöùng . 
E 
F 
Vì : S ABE =(1/2).ab sin 60 o =ab 3 /4 
Suy ra : V A.BCD = V A.BCE = abh. 3 /12 
Döïng DF || BA vaø DF=BA 
Vaø V C.ABE =(1/3).(ab 3 /4)h=abh. 3 /12 
C 
D 
A 
B 
Khi ñoù goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø CD chính laø goùc ABE vaø baèng 60 o. 
Ta coù :V ABCD =V A.BCD =V C.ABE 
60 o 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 9: Cho khoái choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. Caïch beân SA vuoâng goùc vôùi ñaùy , SA= (a 6)/2. 
Tính khoaûng caùch töø ñieåm A tôùi maët phaúng (SBC). 
Tính theå tích khoái choùp S.ABC vaø dieän tích tam giaùc SBC. 
a) Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC 
Khi ñoù : BC  (SAH) BC  AK 
Vaäy AK laø khoaûng caùch töø A tôùi mp(SBC ) 
 SAH vuoâng taïi A coù AK laø ñöôøng cao neân : 
Ta coù : BC  AH vaø BC  SA 
ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a neân : AH= a3/2 
Haï AK  SH 
Do ñoù:AK  BC vaø AK  SH AK  (SBC) 
S 
A 
B 
C 
H 
K 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
b) Ta coù : 
Maët khaùc : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 10: Cho laêng truï ñöùng ABC.A’B’C’ coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB= AC= a vaø goùc BAC= 120 ¨, caïnh AA’= a. Goïi I laø trung ñieåm cuûa CC’ (1.46_NVPhuoc) 
a) Chöùng minh raèng AB’I vuoâng taïi A. 
b) Tính theå tích khoái laêng truï ABC.A’B’C’ . 
a)Trong ABC, aùp duïng ñònh lyù cosin , ta coù : 
 B’C’I vuoâng taïi C’ neân : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
 ABB’ vuoâng taïi B neân : 
AB’ = AB2 = a2 
 ACI vuoâng taïi C neân : 
Nhö vaäy ta coù : 
Suy ra : AB’I vuoâng taïi A. 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
b) Ta coù : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
Baøi 11: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC vuoâng taïi B; AB=a, BC=2a. Caïnh SA  (ABC) vaø SA=2a. Goïi M laø trung ñieåm cuûa SC 
a) Chöùng minh raèng AMB caân taïi M. 
b) Tính dieän tích AMB. 
c) Tính theå tích khoái choùp S.AMB, suy ra khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (AMB)(1.47_NVPhuoc) 
a) Ta coù : 
SA  (ABC) vaø AB  BC SB  BC 
 SBC vuoâng taïi B vaø BM laø trung tuyeán neân : BM = SC/2 
Töông töï : AM = SC/2 
Do ñoù : AM = BM 
Vaäy AMB caân taïi M 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
b) ABC vuoâng taïi B neân : 
Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB. Khi ñoù : MH  AB 
 SAC vuoâng taïi A neân : 
 AHM vuoâng taïi H neân : 
Baøi 5 : 
Baøi taäp veà :THEÅ TÍCH CUÛA KHOÁI ÑA DIEÄN 
b) Goïi V 1 vaø V 2 laàn löôït laø theå tích khoái choùp S.AMB vaø S.ABC 
Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB. Khi ñoù : MH  AB 
 AHM vuoâng taïi H neân :