Bài giảng Toán Lớp 12 - Bài 2: Phương trình mặt phẳng - Trường THPT Quang Trung

PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG 
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG 
véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
phương trình tổng quát của mặt phẳng 
1.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
n 
≠ 
( A;B;C ) là véc tơ pháp tuyến của mp (P) 
 
0 
n 
 
(P) 
 
A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 
n 
 
(P) 
Các véc tơ 
k n 
cũng là véc tơ pháp tuyến 
n 
( A;B;C ) 
n 
P 
k n 
Bài t oỏn : 
Trong khụng gian Oxyz cho mp (P) và 2 vectơ khụng cựng phương 
a = (a1, a2, a3), 
b = (b1, b2, b3) 
cú giỏ song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) 
Vectơ 
n 
= (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1) 
được gọi là vectơ phỏp tuyến của mp (P). 
Kớ hiệu : 
n 
= 
b 
a 
^ 
hoặc = [ 
b ] 
a , 
là tớch cú hướng của 2 vectơ 
HĐ1: Trong khụng gian Oxyz cho 
A(2; -1; 3); B(4; 0; 1); C(-10; 5; 3). 
Hóy tớnh vectơ phỏp tuyến của mp(ABC). 
Bài giải 
Vtpt n = [AB;AC] 
AB = ( 2; 1 ; -2) 
AC = ( -12; 6 ; 0) 
Vtpt n = [AB;AC] = (12 ; 24 ; 24) 
Hay n = (1; 2; 2) 
Bài toỏn 1: Trong hệ tọa độ Oxyz 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
• 
M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
n 
( A;B;C ) 
P 
• 
M (x ;y;z) 
Bài toỏn 2: 
M (x ;y;z) 
thỏa mãn pt 
II. Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng : 
A(x– x 0 ) +B(y– y 0 )+ C (z-z 0 ) = 0 
M (x ;y;z) (P) 
CMR: 
 Ax + By+ C z - Ax 0 -B y 0 - C z 0 = 0 
n 
 
M 0 M 
Đ ặt bằng D 
 Ax + By+ C z + D = 0 
M (x ;y;z) (P) 
Giải 
Vậy 
 Ax +B y + Cz + D = 0 (*) 
Chọn M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thỏa (*) 
Có : Ax 0 +B y 0 + Cz 0 + D = 0 (**) 
A(x– x 0 ) +B(y– y 0 )+ C (z-z 0 ) = 0 
=> 
=> 
( A;B;C ) 
n 
 
M 0 M 
n 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
là vectơ phỏp tuyến của (P) 
Định nghĩa : Phương trỡnh cú dạng Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 +C 2 ≠0, được gọi là phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng . *) Nhận xột :a) Nếu mp (P) cú phương trỡnh tổng quỏt là Ax + By + Cz + D = 0 thỡ nú cú 1 vtpt là  b) Phương trỡnh mp đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) nhận vectơ khỏc vectơ khụng làm vectơ phỏp tuyến là  A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0. 
n = ( A; B ; C) 
n = ( A; B ; C) 
HĐ2: Cho mp (P): 4x – 2y – 6z + 7 = 0 Tỡm 1 vtpt của (P)? Giải : 
n = ( 4; -2 ; -6) 
HĐ3: Lập phương trỡnh tổng quỏt của mp(MNP)  với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) Giải : 
Vtpt n = [MN;MP] 
MN = ( 3; 2 ; 1) 
Vtpt n = [MN;MP] = (-1 ; 4 ; -5) 
 Pt mp (MNP) qua M(1; 1; 1 ) nhận n = (-1 ; 4 ; -5) làm vtcp 
Pt.(ABC) là : -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 
hay - x + 4y - 5z + 2 = 0 
MP = ( 4; 1 ; 0) 
2. Cỏc trường hợp riờng : 
Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): 
Ax + By + Cz +D= 0(1) 
a) Nếu D = 0 (P) đi qua gốc toạ độ O. 
b) Nếu hệ số A bằng 0 
 (P) // Ox hoặc (P) chứa trục Ox 
HĐ4 : Nờu trường hợp nếu B = 0 hoặc C = 0? 
ĐA: B = 0 (P) // Oy hoặc chứa trục Oy  
C = 0 (P) // Oz hoặc chứa trục Oz. 
c) Nếu A = B = 0, C ≠ 0 (P) // hoặc trựng mp(Oxy 
HĐ5: Nếu A = C = 0, B ≠ 0 
 (P) // hoặc trựng mp(Oxz ) 
Nếu B = C = 0, A ≠ 0 
 (P) // hoặc trựng mp(Oyz ) 
*) Nhận xột :  Phương trỡnh mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) là : 
x 
+ 
y 
z 
+ 
a 
b 
c 
= 1 
Vớ dụ : Viết phương trình mặt phẳng 
Bài giải 
Đi qua 3 đ iểm 
A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5) 
Ph.trình mp (ABC) : 
10 x -5y + 2z -10 = 0 
x 
+ 
y 
z 
+ 
-1 
2 
-5 
= 1 
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, 
vuụng gúc  
HĐ6 : cho hai mp 
(P): x – 2y + 3z + 1 = 0 
(Q): 2x – 4y + 6z + 1= 0 
Cú nhận xột gỡ về vectơ phỏp tuyến của chỳng ? 
Trả lời : 
n (P) 
= (1; -2; 3) 
n (Q) 
n (P) 
= (2; -4; 6) = 2(1; -2; 3) = 2 
Hai mp (P) và (Q) được gọi là hai mp song song. 
n (P) 
n (Q) 
n (P) = (A 1 ; B 1 ; C 1 ) 
n (Q) = (A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
1. Điều kiện để hai mp song song 
Cho 2 mp: 
(P): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 cú vtpt  
(Q): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 cú vtpt 
 
n (Q) 
n (P) = k 
D 1 ≠ kD 2 
 
(A 1 ; B 1 ; C 1 ) = k(A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
D 1 ≠ kD 2 
(P) // (Q) 
 (P) trựng (Q) 	 	 	 
 
n (Q) 
n (P) = k 
D 1 = kD 2 
 
(A 1 ; B 1 ; C 1 ) = k(A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
D 1 = kD 2 
(P) cắt (Q) 
 
n (P) ≠ k 
n (Q) 
(A 1 ; B 1 ; C 1 ) ≠ k(A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
 
Trong hệ tọa độ Oxyz 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
1Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
 Ax + By+ Cz -Ax 0 - B y 0 – C z 0 = 0 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Phương trình 
Bài tập 
 Viết phương trình mặt phẳng 
đi qua đ iểm M 0 (3;0 ;-1) và song song 
với mặt phẳng (Q) có phương trình : 
 4x -3y +7z +1 = 0 
Bài giải 
Q 
n 
( 4;-3; 7 ) 
P 
Mặt phẳng ( ) 
Qua M 0 ( 3;0;-1) 
1vtpt ( 4;-3;7) 
=> Phương trình ( ): 
4x – 3y +7z -5 = 0 
2. Đ iều kiện để hai mp vuụng gúc  (P) vuụng gúc (Q) 
n (Q) = 0 
n (P) . 
 
 
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 
Viết pt mặt phẳng (P) thỏa mãn : 
Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) 
 ( Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0 
Vì ( P)  (Q) và (P) qua A, B => hai vectơ khụng cựng phương c ú giỏ 
AB ( -2;4; -3) 
Bài giải 
=> Véc tơ n (P) = [ n (Q) ,AB] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
=> Phương trình (P) là 1(x – 2) + 17(y+3) + 22(z-1) = 0 
(P) Qua A(2;-3;1) 
Vớ dụ : 
n (Q) (3;5;-4) 
song song hoặc nằm trờn (P) là 
Hay x + 17y + 22 z + 27 = 0 
Trắc nghiệm 
Cho mặt phẳng (P) thỏa mãn : 
Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) 
 ( Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0 
Kết luận nào sau đây đ úng ? 
a) Véc tơ u = ( 3 ; 5 ; -4) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
b) Véc tơ v = ( -2 ; 4 ; -3) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
c) Véc tơ n = [ u ,v] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
Tóm lại: 
Trong hệ tọa độ Oxyz 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
1Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Phương trình 
 A(x – x 0 ) + B(y – y 0 )+ C(z – z 0 ) = 0 
Ngược lại 
 Từ pt: Ax + By+ C z + D = 0 
Với : A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Chọn đư ợc : M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thỏa (*) 
Và một véc tơ pháp tuyến 
n 
( A;B;C ) 
Bài tập 
Bài 1: 
Viết phương trình mặt phẳng trung 
trực của đoạn AB 
Trong hệ toạ độ Oxyz cho 
A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4) 
Bài giải 
(P) thỏa mãn 
Qua I ? 
1Vtpt 
n 
=? 
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB 
(P) thỏa mãn 
Qua I (2;-2;2) 
1Vtpt 
AB 
(6;-10;4) 
Phương trình (P): 
3x-5y +2z – 20 = 0 
Trong hệ tọa độ Oxyz 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
1Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
 Ax + By+ Cz -Ax 0 - B y 0 – C z 0 = 0 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Phương trình 
Tóm lại: 
* Mặt phẳng (P)  (Q) 
*) (P) // (Q) chung vtpt 
Bài tập : 
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)_ lần 
 lượt có phương trình : 
3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = 0 
Một đ iểm M 0 ( 1;-4;0). 
Viết phương trình mặt phẳng(  ) qua M 0 
và đ ồng thời vuông góc với cả hai mặt 
phẳng (P) và (Q). 
Bài giải : 
Vì ( )  (P) => ( ) có 1 vtcp u (3;2;-5) 
Vì ( )  (Q) => ( ) có 1 vtcp v (1;-7;6) 
[u,v] = (- 23; -7 ; -23) ≠ 0 
Chọn vtpt của ( ) là n (23; 7;23) 
( ) qua M 0 (1;-4 ; 0) 
=> Ph.trình ( ) là 23x +7y +23z +5 = 0 
n (Q) = 0 
n (P) . 
Hình thức thứ nhất : Cho trực tiếp 
n 
( A;B;C ) 
Hình thức thứ hai : cho gián tiếp 
• A(x 1 ;y 1 ;z 1 ) 
• B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) 
n 
= AB  (P) 
P 
TH1: 
Hình thức thứ hai : cho gián tiếp 
u 
v 
u 
v 
// hoặc nằm trên (P) 
// hoặc nằm trên (P) 
n 
= [ u ; v ] 
P 
TH2: 
u và v không cùng phương 
n 
= [ u ; v ] 
Hình thức thứ hai : cho gián tiếp 
P 
Q 
(P) // (Q) 
Ph.trình (Q) :Ax + By + Cz + D 1 = 0 
=> Ph.trình (P) : Ax +By + Cz +D 2 = 0 
n Q 
 = ( A,B,C)  (Q) 
n P 
 = ( A,B,C)  (Q) 
TH3: 
Chú ý: 
n Q 
 = ( A,B,C)  (Q) 
Q 
P 
n Q 
 = ( A,B,C) // (P) 
IV. Khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng  Định lớ :  Trong khụng gian Oxyz cho mp (P) :Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ). Khoảng cỏch từ M 0 đến mp (P), kớ hiệu d(M 0 , (P))	 
Vớ dụ : Tớnh khoảng cỏch từ gốc toạ độ O đến mp(P): 2x + 2y –z + 3 = 0 Giải : 
Vớ dụ 2 :Tớnh khoảng cỏch giữa hai mp song song(P): x + 2y + 2z + 11 = 0(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0 
Giải : Lấy M(0; 0; -1) thuộc (Q) 
HĐ7 : Tớnh khoảng cỏch giữa 2 mp	(P): x – 2 = 0	(Q): x – 8 = 0 
Giải : Lấy M(2, 0, 0) thuộc (P) 
Bài tập về nhà: 
I.Lý thuyết : 
•Nắm vững bài toán cơ bản về 
 viết phương trình mặt phẳng. 
(Phải biết một đ iểm của mặt phẳng 
 và một Vtpt của mặt phẳng) 
•Nắm vững cách xác đ ịnh một véc tơ 
 chỉ phương của mặt phẳng 
•Nắm vững cách xác đ ịnh một véc tơ 
 pháp tuyến của mặt phẳng 
I•Bài tập : 
Từ 1 đ ến 10 trang 81 và 82 ( Sgk ) 
Xin chân thành cảm ơn các thầy (cô) và các em học sinh 
Xin chào và hẹn gặp lại ! 
10 
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT