Bài giảng Toán Lớp 12 - Bài 2: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều - Trường THPT Quang Trung

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG 
BÀI 2 : Khối đa diện lồi và khối đa diện đều 
D 
A 
B 
C 
A’ 
A 
B 
C 
D 
B’ 
C’ 
D’ 
M 
N 
M 
N 
T 
A’ 
A 
B 
C 
D 
B’ 
C’ 
D’ 
M 
N 
M 
N 
Mở mặt ngoài 
Hiện mặt phẳng 
Mp chuyển động 
D 
A 
B 
C 
X3 
X 4 
Hiện mặt phẳng 
Mp chuyển động 
T 
Đây không phải 
là khối đa diện lồi 
A’ 
A 
B 
C 
D 
B’ 
C’ 
D’ 
Đây là một 
khối đa diện lồi 
Bài 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
I- KHỐI ĐA DIỆN LỒI 
Khối đa diện ( H ) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng 
 nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc ( H).Khi đó đa diện xác 
 định (H) được gọi là đa diện lồi . 
Ví dụ 
các khối lăng trụ tam giác , khối hộp , khối tứ diện 
 là những khối đa diện lồi . 
Người ta chứng minh được rằng một khối đa diện được gọi 
là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm 
về một phía đối với mỗi mặt của nó . 
Bài 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
I- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
Định nghĩa : 
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây : 
a)Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh . 
b)Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt . 
Khối đa diện đều như vậy đều gọi là khối đa diện đều loại ( p,q ). 
Từ định nghĩa trên ta thấy các mặt của một khối đa diện đều 
là những đa giác đều bằng nhau 
Bài 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
I- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
Định lí : 
Chỉ có năm loại khối đa diện đều . 
Đó là loại {3;3},loại {4;3},loại{3;4}, loại {5;3} và loại {3;5} 
Bài 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
I- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 
Loại 
Tên gọi 
Só đỉnh 
Số cạnh 
Số mặt 
{3;3} Tứ diện đều 4 6 4 
{4;3} Lập phương 8 12 6 
{3;4} Bát diện đều 6 12 8 
{5;3} Mười hai mặt đều 20 12 8 
{3;5} Hai mươi mặt đều 12 30 20 
2 
1 
3 
4 
KĐD 
X3 
X4 
X2 
X1 
D 
D 
A 
A 
B 
B 
C 
C 
Khối đa diện này có tên là khối {3;3} 
Còn gọi là khối tứ diện đều 
1 
5 
3 
KĐD 
4 
2 
X5 
X4 
X3 
X2 
X1 
A’ 
A 
B 
C 
D 
B’ 
C’ 
D’ 
6 
X6 
Đỉnh 
Khối đa diện này có tên là khối {4;3} đều 
Còn gọi là khối lập phương 
Khối đa diện này có tên là khối {3;4} đều 
Còn gọi là khối bát diện đều 
Mở 6 
Mở 7 
Khối đa diện này có tên là khối {5;3} đều 
Còn gọi là khối 12 mặt đều 
Khối đa diện này có tên là khối {3;5} đều 
Còn gọi là khối 20 mặt đều 
Bài 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI 
 ĐA DIỆN ĐỀU 
H3: Chứng minh rằng : Trung điểm các cạnh của một tứ 
 diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều 
 Cho tứ diện ABCD , cạnh bằng a . 
 Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là 
trung điểm các cạnh AC, BD, AB, 
BC, CD và DA . 
 Ta chứng minh các cạnh IN, IE, 
 IM, IF, JN, JE, JM, JF đều có độ 
dài bằng a/2. 
Giải : 
Bài 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI 
 ĐA DIỆN ĐỀU 
 Thật vây , đó là các đường trung bình của các tam giác 
 CAD , ABD, ACB, BCD . 
 Vì AB = AC = AD = CB = a (ABCD là tứ diện đều ) 
 Nên IN = IE = IM = IF = JN = JE = JM = JF = a/2. 
 Suy ra các tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, 
 JMN, JNE là các tam giác đều bằng nhau . 
 Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh 
 là I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 
 4 tam giác đều . Do đó đa diện ấy là đa diện đều loại 
 { 3; 4 }, tức là hình bát diện đều . 
BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Học định nghĩa , định lý 
Quan sát các khối đa diên đều để hiểu định nghĩa và định lý . 
Bài 1 đến bài 4 trang 18 
Bài giải : 
Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a, 
Gọi I,J,E,F,M và N lần lượt trung điểm của các cạnh AC, 
BD, AB,BC,CD và DA 
*) Áp dụng tính chất đường trung bình của các tam giác đều 
 là các mặt của tứ diện đều nên độ dài của tám tamgiác IEF, 
IFM,IMN,INE,JEF,JFM,JMN đều bằng a/2 =>chúng là tám 
tam giác đều. 
*)Hơn nữa tám tam giác đều nói trên tạo thành một đa diện 
 có các đỉnh I,J,E,F,M,N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của 
đúng bốn tam giác đều . 
*)Do đó đa diện ấy là đa diện đều loại {3;4}, 
 tức là bát diện đều . 
 b) Chứng minh AB’CD’ là một tứ diện đều.Tính các cạnh 
của nó theo a. 
*) Gọi I,J,E,F,M và N lần lượt là tâmcủa các mặt ABCD, 
A’B’C’D’ , ABB’A’,BCC’B’,CDD’C’ và DAA’D’ của 
hình lập phương . 
*) Để ý rằng 6 điểm trên cùng lầnlượt là trung điểm của các 
 cạnh AC, B’D’,AB’,B’C’CD’và D’A của tứ diện đều AB’CD’ 
=> Theo câu a) sáu điểm đó là các đỉnh của một bát diện đều .