Bài giảng Toán Lớp 11 - Tiết 63, 64: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Trường THPT Quang Trung

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 
1 
I- Đạo hàm tại một điểm 
	 1-Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm : 
	 1.Bài toán vận tốc tức thời : 	 
	 1-Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga.Quãng đường s(mét ) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t(phút ). Ở những phút đầu tiên , hàm số đó là s=t 2 . 
2 
Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [t;t 0 ] với t 0 =3và t=2; t=2,5; t=2,9; t=2,99 
Nêu nhận xét về các kết quả thu được khi t càng gần t 0 =3 
 Giải : 
Xem quãng đường là một hàm số theo thời gian t 
Quãng đường đi được sau thời gian t: s= s(t ) 
Quãng đường đi được sau thời gian t 0 :s 0 =s(t 0 ) 
3 
Ta có:vận tốc trung bình trong khoảng thời gian |t-t 0 | là : 
* Nếu t càng gần t 0 thì vận tốc trung bình càng gần vận tốc tức thời tại t 0 
** Giới hạn hữu hạn ( nếu có ) 
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 0 
4 
2.Bài toán tìm cường độ tức thời : 
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số theo thời gian t:Q = Q(t ) 
Ta có cường độ trung bình trong khoảng thời gian |t-t 0 |: 
* Nếu t càng gần t 0 thì cường độ dòng điện trung bình càng gần cường độ tức thời của dòng điện tại t 0 
5 
Giới hạn hữu hạn ( nếu có ) 
 được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t 0 
* Nhận xét : 
Việc tìm giới hạn 
trong đó y= f(x ) 
 dẫn tới khái niệm : 
ĐẠO HÀM 
6 
2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm 
Cho y= f(x ) xác định trên ( a;b ) và x 0 thuộc ( a;b ). 
 Ký hiệu:f’(x 0 ) hoặc y’(x 0 ) 
7 
Tức là : 
8 
3.Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa : 
Tõ ® Þnh nghÜa cho biÕt c¸c b­íc tÝnh ®¹o hµm ? 
+ B1: Gi ¶ sö x lµ sè gia ® èi sè t¹i x 0 . TÝnh y=f(x 0 + x)-f(x 0 ). 
+B2: LËp tû sè 
+ B3: T×m 
9 
Ví dụ1: 
Tính đạo hàm của f(x )=1/x tại x 0 =2 
Giải : 
+ Giả sử x l à số gia của đối số tại x 0 =2 
 y=f (x 0 + x )-f(x 0 )= 
+ Ta c ó : 
 +	=-1/4 
 Vậy:f’(2)=-1/4 
10 
VD2: T×m đạo hàm cña hµm sè y=x 2 +x t¹i x0=1. 
Gi ải : 
+ Giả sử x l à số gia của đối số tại x 0 =1 
 y=f (x 0 + x )-f(x 0 )=3. + 2 
+ Ta c ó : 
 +	 =3 
 Vậy:f’(1)=3 
11 
4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số : 
NÕu hµm sè cã ®¹o hµm t¹i x 0 th × nã cã liªn tôc t¹i x 0 ? 
 § Þnh lý : 
NÕu  f’ (x 0 )  y= f(x ) liªn tôc t¹i x 0 
 Tõ ® Þnh lý ta cã nhËn xÐt : 
 y= f(x ) gi¸n ®o¹n t¹i x 0  
 y= f(x ) liªn tôc t¹i x 0 
12 
 Chẳng hạn : 
 liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tạị đó 
Nhận xét : đồ thị là đường liền 
 nhưng “ gãy ” tại 0 
f(x )= 
n ế u x 0 
n ế u x <0 
O 
x 
y 
 y= -x 
y=x 
13 
CỦNG CỐ 
Xem lại bài học 
Làm bài tập sách giáo khoa 
Xem trước phần tiếp theo 
14