Bài giảng Toán Lớp 11 - Dạng 11: Nhị thức Newton và khai triển đa thức - Trường THPT Quang Trung

Dạ ng 11 
Nhị thức Newton 
và khai triển đa thức 
Nội dung 
Dạ ng 11. Nhị thức Newton và khai triển đa thức 
Dạ ng 11A. Tính hệ số của đa thức 
Dạ ng 11B. Tìm hệ số lớn nhất của đa thức 
Dạ ng 11C. Chứng minh hệ thức tổ hợp 
Dạ ng 11A 
Tính hệ số của đa thức 
Bài tập mẫu 
Tính số hạng không chứa x , khi khai triển 	 biết rằng n thoả mãn 
Giải 
Áp dụng công thức , ta có 
Ta được giả thiết tương đương với 
Bài tập mẫu ( tt ) 
Số hạng không chứa x tương ứng với 
Số hạng phải tìm là 
Lưu ý: 
Tính hệ số của số hạng x ( là một số hữu tỉ cho trước ) trong khai triển nhị thức Newton của , ta làm như sau : 
Viết 	 số hạng chứa x tương ứng với g(k ) = ; giải phương trình ta tìm được k. Nếu k N, k n , hệ số phải tìm là a k ; nếu k N hoặc k > n, thì trong khai triển không có số hạng chứa x , hệ số phải tìm bằng 0. 
Bài tập tươ ng tự 
Khi khai triển nhị thức Newton của 	 , hãy tính hệ số của số hạng chứa x 10 , biết rằng n là số tự nhiên thoả mãn phần tử 
Giải 
Hệ thức 
Phương trình trên có nghiệm n = -10 ( loại ), n = 15 ( nhận ). 
Với n = 15, có 
Số hạng chứa x 10 , tương ứng với 
Ta đư ợc hệ số ph ải tìm là	 Đs : -6435. 
Dạ ng 11B 
Tìm hệ số lớn nh ất của đa thức 
Bài tập mẫu 
Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức . 
Giải 
Do đó BĐT a n -1 a n đúng với n {1; 2; 3; 4} và dấu đẳng thức không xảy ra . Ta được a 0 a 5 >  > a 13 
Lưu ý: 
 Để tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển (ax + b) m thành đa một thức , ta làm như sau : 
 Tính hệ số của số hạng tổng quát ; giải BPT a n-1 a n với ẩn số n ; hệ số lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên n lớn nhất thoả mãn BPT trên . 
Bài tập tươ ng tự 
Hãy tìm hệ số có giá trị lớn nhất của đa thức . 
Giải 
Xét BPT (v ới ẩn số n ): 
Do đó BĐT a n-1 a n đúng với n {1; 2; 3;; 10} và dấu đẳng thức không xảy ra . Ta được a 0 a 11 >  a 15 . 
Dạ ng 11C 
Chứng minh hệ thức tổ hợp 
Bài tập mẫu 
Chứng minh rằng 
Giải 
Dễ thấy hệ số của x n trong VT là : 
hệ số của x n trong VP = (x + 1) 2n là 
Lưu ý 
Xét đẳ ng thức (x + 1) n (1 + x) m = (x + 1) n+m . Sử dụng nhị thức Newton để vi ết cả hai vế thành đa thức đ ối với x, đ ồng nh ất hệ số của các số hạ ng cùng bậc trong hai vế, bạn có thể vi ết ra nhiều hệ thức về tổ hợp và đó cũng là cách chứng minh chúng .