Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương IV. Bài 1: Giới hạn của dãy số

Chương IV : GIỚI HẠN  Đ1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ  
Tiết 49, tuần 20 
I.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 
II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN 
I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 
Cõu hỏi 1 > Cho dóy số ( u n ) với 
a/ Hóy viết dóy số dưới dạng khai triển : 
b/ Hóy biểu diễn cỏc số hạng của dóy trờn trục số : 
Hóy tớnh cỏc khoảng cỏch từ u 4 ; u 10 ; u 100 ; u 2008 ;  đến 0 
Em cú nhận xột gỡ về cỏc khoảng cỏch này khi n trở nờn rất lớn ? 
Cõu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiờu thỡ khoảng cỏch này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ? 
Vậy khi n lớn dần đến vụ cựng thỡ khoảng cỏch này tiến dần đến 0, hay ta núi rằng u n dần đến 0. 
Ta ký hiệu : u n 0 
ĐỊNH NGHĨA 1 : 
Ta núi dóy số (u n ) cú giới hạn là 0 khi n dần tới dương vụ cực nếu cú thể nhỏ hơn một số dương bộ tuỳ ý , kể từ một số hạng nào đú trở đi 
Kớ hiệu : 
 hay u n 0 khi n 
đ 
n 
u 
đ 
Vậy khi n lớn dần đến vụ cựng thỡ khoảng cỏch này tiến dần đến 0, hay ta núi rằng u n dần đến 0. 
Ta ký hiệu : u n 0 
ĐỊNH NGHĨA 1 : 
Ta núi dóy số (u n ) cú giới hạn là 0 khi n dần tới dương vụ cực nếu cú thể nhỏ hơn một số dương bộ tuỳ ý , kể từ một số hạng nào đú trở đi 
Kớ hiệu : 
 hay u n 0 khi n 
đ 
Ví dụ 1 : Cho dãy số (u n ) với 
Chứng minh rằng 
 ĐỊNH NGHĨA 2 : 
Ta núi dóy số ( v n ) cú giới hạn là a ( hay v n dần tới a ) khi n 
Nếu 
Kớ hiệu : hay v n a khi n 
Vớ dụ 2: Cho dóy số ( u n ) với 
Chứng minh rằng 
.Một vài giới hạn đặc biệt : 
Với k là số nguyên dương và /q/<1 , c : hằng số 
Chỳ ý: Thay cho ta viết tắt là : lim u n = a 
a 
n 
= 
+Ơ 
đ 
lim 
II* ĐỊNH Lí VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN 
ĐINH Lí 1 : 
Các ví dụ : 
Ví dụ 3 : 
Tìm 
giải : Chia cả tử và mẫu cho n 2 th ì: 
Làm thế nào để tìm đư ợc 
giới hạn này ? 
Ví dụ 4 : 
Tìm 
Có thể tìm đư ợc giới hạn mà không phải dùng phép chia hay không ? Nếu đư ợc , 
Hãy trình bày lời giải ? 
Bài tập vận dụng 
Bài tập 2/121 (SGK) : Biết dóy số (u n ) thoả món : 
 Chứng minh rằng : lim u n = 1 
Lời giải : 
Do đú | W n | cú thể nhỏ hơn một số dương bộ tuỳ ý kể từ một số hạng nào đú trở đi . (1) 
Mặt khỏc theo giả thiết 
Từ (1) và (2) suy ra lim a n = 0. Vậy lim u n = 1 ( đpcm ) 
Bài tập 3C/121 : Tỡm 
Hướng dẫn học ở nhà : 
1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn 
2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc cỏc cụng thức của định lý về giới hạn hữu hạn 
3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Cỏc cõu a, b, d ) trang 121. 
III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
IV/ Giới hạn vô cực  
Tiết 50, tuàn 21 
III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
1) Khái niệm : 
*/ Dãy số là một cấp số nhân . 
*/ Công bội là q = 1/ 2, /q/ < 1 
 */ Dãy số là cấp số nhân vô hạn. 
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn 
có công bội q với / q / < 1 
III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không ? 
Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đ ó ? 
Hóy nờu cụng thức tớnh tổng S n của cấp số nhõn 
 lựi vụ hạn biết u 1 và Cụng bội q, với /q/ < 1. 
Tỡm giới hạn của tổng S n khi n —> + ∞ ? 
Lời giải : 
III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
Các ví dụ : 
Ví dụ 5 : Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn (u n ), sau : 
Đáp số : S = 1/ 2 
Đáp số : S = 2/ 3 
IV/ Giới hạn vô cực  1) Đ ịnh nghĩa 
Câu hỏi 3 : Cho dãy số tự nhiên u n = n 
1/ Cho u n là một số tự nhiên bất kỳ , có thể chỉ ra đư ợc những số lớn hơn u n không ? 
2/ Hãy nêu nhận xét về dãy số vừa xét ? Khoảng cách giữa 0 và u n nh ư thế nào khi n —> + ∞ ? 
Đ ịnh nghĩa về giới hạn vô cực :(SGK ) 
Kí hiệu : limu n = + ∞ hay u n —>+ ∞ khi n —>+ ∞ 
Limu n =-∞ hay u n —>- ∞ khi n —>+ ∞ 
Nhận xét : limu n =+ ∞ lim (-u n ) = - ∞ 
2/ Một vài giới hạn đ ặc biệt : 
a) Lim n k = + ∞ với k nguyên dương 
b) Lim q n = + ∞ nếu q>1 
Ví dụ 7 : 
Ví dụ 8 : 
Các đ ịnh lý về giới hạn hữu hạn có còn đ úng khi áp dụng 
vào giới hạn vô cực không ? Ta xét các ví dụ sau . 
3/ Đ ịnh lý : Đ ịnh lý 2 : 
Hướng dẫn học ở nhà : 
1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn , v à định nghĩa về giới hạn vụ cực 
2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc cỏc cụng thức của định lý về giới hạn hữu hạn , gi ới hạn vụ cực . 
3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122. 
4/ L àm bài tập trong sỏch bài tập gồm bài 1.9, 1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14.