Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương II, Bài 1: Vectơ trong không gian - Trường THPT Quang Trung

Chương III  Véct ơ trong không gian  quan hệ vuông góc trong không gian 
I/ Đ ịnh nghĩa và các phép toán về vec tơ trong không gian :  
 không cùng nằm trong một mặt phẳng 
B 
A 
D 
C 
( Tương tự nh ư trong mặt phẳng) 
HĐ1 : a/ Cho tứ diện ABCD kể tên các vect ơ có đ iểm đ ầu là A, đ iểm cuối là các đ ỉnh còn lại của tứ diện 
b/ Chứng minh : AC + BD = AD + BC 
AD + DC 
Ta có AC + BD = 
+ BC + CD 
= AD + BC (vì DC + CD = 0 ) 
Bài 1. Vectơ trong không gian 
c/Gọi M, N là trung đ iểm AD, BC. 
A 
B 
C 
D 
. 
M 
. 
N 
Chứng minh MN = 1/2(AB + DC) 
Ta có : MN = MA + AB + BN 
MN = MD + DC + CN 
2MN = MA + MD + AB + DC + BN + CN 
2MN = AB + DC 
G 
d/Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. 
Chứng minh : AB + AC + AD = 3AG 
(SGK/87) 
HĐ 2 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 
a) Kể tên các vect ơ bằng với vect ơ AB 
AB = A’B’ = DC = D’C’ 
b) C/m đẳng thức : AB + AD + AA’= AC’ (1) 
Ta có AB + AD + AA’ = 
AC 
+ AA’ 
= AC’ 
Ta gọi đẳng thức (1) và các đẳng thức tương tự với (1) là qui tắc hình hộp 
Tương tự , ta cũng chứng minh đư ợc : DA + DC + DD’ = DB’ , ... 
 II/Đ iều kiện đ ồng phẳng của 3 vec tơ:  
1/Định nghĩa : 
-3 vect ơ đư ợc gọi là đ ồng phẳng nếu các gi á của chúng cùng song song với 1 mặt phẳng. 
-Cho 3 vectơ a, b, c . 
+Nếu a, b, c cùng thuộc mp(P) 
+Nếu 1 trong 3 vectơ thuộc mp (P), 2 vectơ còn lại song song với mp(P) 
 (hoặc 2 vectơ thuộc mp(P), vectơ còn lại song song với mp(P)) thì 3 vectơ đó đồng phẳng. 
thì 3 vectơ đó đồng phẳng 
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD. Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng 
N 
M 
D 
C 
B 
A 
P 
Q 
HD: Gọi P, Q là trung điểm của AC, BD 
Yêu cầu:-Chứng minh MPNQ là hình bình hành, suy ra MN thuộc mp(MPNQ) 
-Chứng minh BC và AD song song với mp(MPNQ) 
2/Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: 
a/Định lý 1: 
a , b , c đồng phẳng có cặp số m, n sao cho c = ma + nb (trong đó a và b không cùng phương; m, n duy nhất) 
N 
M 
D 
C 
B 
A 
Ta có: MN = 1/2(BC + AD) 
 MN = 1/2BC + 1/2AD 
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm AB, CD. Chứng minh 3 vectơ BC, AD, MN đồng phẳng 
 BC, AD, MN đồng phẳng 
Ghi chú : Nếu có c = ma + nb thì ta nói vectơ c biểu thị được qua hai vectơ a và b 
(Nghĩa là luôn tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực m, n, p sao cho  x = ma + nb + pc ) 
b/ Định lý 2 (biểu thị 1 vectơ qua 3 vectơ không đồng phẳng):  Nếu a , b , c không đồng phẳng thì với mọi vectơ x ta luôn biểu thị được vectơ x qua 3 vectơ a , b , c 
Ví dụ: Cho AB = a , AD = b , AE = c . Gọi I là trung điểm BG. Hãy biểu thị AI qua a , b, c 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
. 
I 
 AI = 1/2(AB + AG) 
(Tức là phải tìm một bộ 3 số thực m, n, p để AI = ma + nb + pc ) 
Mà AG = AB + AD + AE 
AG = a + b + c 
 AI = 1/2( a + a + b + c ) 
 AI = a + 1/2b + 1/2c 
Ta có AB + AG = 2AI 
Các kiến thức cần nắm: 
Vect ơ trong không gian có các quan hệ và phép toán nh ư trong mặt phẳng 
Ba vect ơ đ ồng phẳng là 3 vect ơ có gi á cùng song song với một mặt phẳng; đ iều kiện để 3 vect ơ đ ồng phẳng. 
Nắm đ ựoc quy tắc hình hộp , 
 Bài tập : 2, 3, 4 SGK trang 91