Bài giảng Toán Lớp 11 - Bài 3: Phép đối xứng trục

Bài 3: 
PHÉP 
ĐỐI 
XỨNG 
TRỤC 
1 
Điểm M’ gọi là đối xứng với điểm M qua đường thẳng a nếu a là đường trung trực của đoạn MM’. Nếu M nằm trên a thì ta xem M đối xứng với chính nó qua a . 
M 
M’ 
a 
I. Định nghĩa phép đối xứng trục 
2 
 Định nghĩa 1 : 
Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ đối xứng với M qua a . 
 Kí hiệu và thuật ngữ : 
- Kí hiệu là Đ a . 
- Phép đối xứng qua đường thẳng còn gọi là phép đối xứng trục . 
- Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng , hay là trục đối xứng . 
3 
A 
A’ 
M 
M’ 
B 
B’ 
C 
C’ 
4 
?1. Đ a biến những điểm nào thành chính nó ? 
?2. Nếu Đ a (M) = M’ thì Đ a (M’) = ? 
5 
Phép đối xứng trục là một phép dời hình . 
II. Định lí 
 Biểu thức toạ độ của phép đối xứng qua trục : 
 Ta thấy nếu phép đối xứng qua trục 0x ( hoặc Oy ) biến M(x,y ) thành điểm M’(x’,y ’) thì 
 Ox:  Oy : 
 x’ = x x’ = -x 
 y’ = -y y’ = y 
6 
VD1: 
Cho (C): x 2 + y 2 – 8x + 2y – 8 = 0 
 : 2x – y + 3 = 0 
Tìm ảnh của (C) qua Đ . 
7 
Bài làm 
Đ (C) = (C’) 
(C): x 2 + y 2 -8x + 2y -8 = 0 
Tâm I(4;-1); R=5 
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với 
d: x + 2y -2 = 0 
Gọi H = d ∩  H ( — ; — ) 
Ta có H là trung điểm I I’: x I ’ = — 
 y I ’ = — 
Vậy (C’): ( x + — ) 2 + ( y - — ) 2 = 25 
-4 
5 
7 
5 
-28 
5 
19 
5 
 
-28 
5 
19 
5 
8 
VD2: 
Cho ABC nội tiếp (O;R). A di động . BC cố định . Tìm quỹ tích trực tâm H. 
Bài làm 
A 
B 
C 
H 
9 
Gọi H’= AB ∩ (O;R) 
Ta có : BAH’ = BCH’ ( cùng chắn BH’) 
 BAH’ = BCH ( cùng phụ ABC) 
Mà BC HH’ 
Nên CHH’ cân tại C 
 H đối xứng với H’ qua BC 
Vậy Đ BC (H) = (H’) 
 Đ BC ((O;R)) = (O’;R) 
Mà H’ (O;R) 
 H (O’;R) là ảnh của (O;R) qua Đ BC . 
 BCH = BCH ’ 
A 
B 
C 
H 
H’ 
⁀ 
10 
Định nghĩa 2: 
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục Đ d biến H thành chính nó , tức là Đ d (H) = H. 
 Một hình có thể không có trục đối xứng , cũng có thể có một hay nhiều trục đối xứng . 
III. Trục đối xứng của một hình 
11 
VD: 
Hình bình hành không có trục đối xứng 
Tam giác cân có 1 trục đối xứng 
Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng . 
Hình vuông có 4 trục đối xứng 
Hình tròn có vô số trục đối xứng 
Tam giác đều có 3 trục đối xứng . 
12 
 ? 3 . Hình nào có trục đối xứng ? 
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 
  	  
13 
III. Áp dụng 
Cho A và B nằm về một phía của đường thẳng . Xác định điểm M để AM + MB min. 
Bài làm 
M 
A 
B 
A’ 
Đ (A) = (A’) 
 A’ cố định 
AM + MB = A’M + MB 
AM’ + MB min 
A’, M, B thẳng hàng 
 M = A’B ∩ 
14 
THE 
END 
15