Bài giảng Toán Lớp 11 - Bài 3: Hàm số liên tục

I. Hàm số liên tục tại một điểm 
Đ3 Hàm số liờn tục 
Xét các hàm số : 
( 
) 
ù 
ợ 
ù 
ớ 
ỡ 
= 
ạ 
- 
- 
= 
1 
x 
nếu 
1 
x 
 nếu 
2 
1 
1 
2 
3 
x 
x 
x 
f 
-1 
0 
1 
1 
2 
x 
y 
(d 1 ) 
-1 
0 
1 
1 
2 
x 
y 
(d 2 ) 
3 
-1 
0 
1 
1 
2 
y 
(d 3 ) 
x 
Đối với hàm số y=f(x) khi xột tại một điểm x=x 0 , cú thể xảy ra những khả năng sau: 
X 0 TXĐ c ủa hàm số. 
Đồ thị của hàm số là đường không liền nét cho dù có tồn tại hay không 
Khi đó ta nói “ Hàm số không liên tục ( hay gián đoạn ) tại x=x 0 ’’. 
2) x 0 txđ của hàm số và 
Đồ thị của hàm số vẫn là đường không liền nét. 
Khi đó ta cũng nói “ Hàm số không liên tục (hay gián đoạn) tại x=x 0 “. 
3) x 0 Є TXĐ của hàm số và . Đồng thời 
Đồ thị hàm số là đường liền nột 
Khi đú ta núi ‘’ H/S f(x) liờn tục tại x=x 0 “. 
n Định nghĩa 1:  Cho hàm số f xác định trên khoảng K và x 0 K. Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu 
.Hàm số không liên tục tại x 0 được gọi là gián đoạn tại điểm x 0 . 
 Cỏc bước kiểm tra một hàm số liờn tục tại x 0 (gồm 3 bước ) 1) f(x) xỏc định tại x=x 0 (điểm đú thuộc tập TXĐ).2) (tồn tại giới hạn của hàm số tại điểm đú).3) (giới hạn tại x 0 phải bằng giỏ trị của hàm số tại điểm đú). 
II. Hàm số liờn tục trờn một khoảng  Định nghĩa 2 
Hàm số y= f(x) được gọi là liờn tục trờn một khoảng nếu nú liờn tục tại mọi điểm thuộc khoảng đú. 
Hàm số y= f(x) được gọi là liờn tục trờn đoạn [a, b] nếu nú liờn tục trờn (a, b) và 
H/S y = f(x) được gọi là liờn tục trờn nửa khoảng 
(a, b] nếu nú liờn tục trờn (a, b) và 
 H/S y = f(x) được gọi là liờn tục trờn [a, + ∞) n ếu nú liờn tục trờn (a, + ∞) v à 
O 
x 
y 
a 
b 
f(a) 
f(b) 
y=f(x) 
ĐỒ THỊ HÀM SỐ LIấN TỤC TRấN 1 KHOẢNG LÀ 1 ĐƯỜNG LIỀN NẫT TRấN KHOẢNG Để 
x 
y 
o 
a 
b 
f(a) 
f(b) 
Đồ thị hàm số khụng liờn tục trờn khoảng (a, b) 
III. Một số định lý cơ bản  Định lý 1 . 
a) Hàm số đa thức liờn tục trờn toàn bộ tập số thực R. 
b) Hàm số phõn thức hữu tỷ ( thương của hai đa thức ) và cỏc hàm lượng giỏc liờn tục trờn từng khoảng của TXĐ của chỳng. 
Định lý 2. 
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liờn tục tại điểm x 0 . Khi đú. 
Cỏc hàm số y= f(x) + g(x), y= f(x) – g(x) và y = f(x)g(x) liờn tục tại x 0. 
Hàm số liờn tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0. 
VD2: Cho hàm: 
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó 
Giải: 
. Nếu 
Thì có tập xác 
định là (-∞; 2)U (2;+∞) . 
Tập xác định: D = R. 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng (-∞; 2)và (2;+∞) 
. Nếu x =2 thì h(2) = 5 và 
Vì 
Nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 2. 
KL: Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (-∞; 2) , (2;+∞) 
và gián đoạn tại x = 2. 
Định lý 3. 
Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a, b] và f(a)f(b)<0 thỡ tồn tại ớt nhất một điểm c (a,b) sao cho f(c) =0. 
O 
x 
y 
a 
b 
f(a) 
f(b) 
Trờn [ { a,b ] hàm số f(x) liờn tục và 
 f(a) .f(b) <0 thỡ đồ thị hàm số sẽ cắt trục Ox tại ớt nhất 1 điểm trong (a,b) 
y=f(x) 
C 
VD3: CMR phương trỡnh x 3 + x – 6 =0 cú ớt nhất một nghiệm 
Giải: Xột hàm số f(x) = x 3 + x – 6 
Ta cú f(0) = -6 và f(2) = 4. Do đú, f(0)f(2)<0. 
y=f(x) là hàm liờn tục trờn R. Do đú, nú liờn tục trờn đoạn [0,2]. Từ đú suy ra phương trỡnh f(x) = 0 cú ớt nhất một nghiệm x 0 (0, 2) 
Nếu hàm số y = f(x) liờn tục trờn [a,b] và f(a)f(b) < 0, thỡ phương trỡnh f(x)=0 cú ớt nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b) 
 KẾT THÚC 
f(x) liờn tục tại x 0 
f(x) liờn tục trờn (a;b) 
Lấy bất kỳ x 0 Є (a,b) 
f(x) khụng liờn tục trờn(a,b) 
+ 
+ 
-