Bài giảng Toán Lớp 10 - Chương II, Bài 4: Các hệ thức lượng trong tam giác - Trường THPT Quang Trung

§ 4 : CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG 
 TAM GIÁC 
1 – ĐỊNH LÝ CÔSIN 
Trong ABC . Ta luôn có : 
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c. cos A 
A 
B 
C 
a 
 b 
c 
c 2 = a 2 + b 2 - 2 a.b. cos C 
b 2 = a 2 + c 2 - 2 a.c. cos B 
Chứng minh : 
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c. cos A 
a 2 = b 2 + c 2 - 2 b.c. cos A 
(đpcm) 
Đặc biệt : 
A = 90 0 
a 2 = b 2 + c 2 
(định lý Pitago) 
Dùng công thức để tính góc tam giác . 
 Ví du : 
Cho ABC có : 
BC = 8 ; AB = 3 ; AC = 7 
Lấy D BC sao cho BD = 5 . Tính độ dài AD ? 
 Giải : 
A 
B 
 C 
| 
 3 
7 
8 
 5 
 D 
 ? 
. Tính AD = ? 
Xét ABD 
Theo đl Côsin : 
AD 2 = AB 2 + BD 2 - 2 AB.BD.cosB 
. Mà ABC có : 
cos B = 
. 
AD 2 = AB 2 + BD 2 - 2 AB.BD.cosB 
AD 2 = 3 2 + 5 2 – 2. 3.5. 
(đvđd) 
2 – ĐỊNH LÝ SIN 
Trong ABC nội tiếp đường tròn 
bán kính R . Ta luôn có : 
A 
B 
C 
a 
 b 
c 
Chứng minh : 
Nối BO kéo dài cắt đtròn tại A’ 
sin A = sin A’ 
. Mà BCA’ vuông tại C nên : 
. 
O 
 R 
 A’ 
Vậy có đpcm . 
Các công thức khác chứng minh tương tự 
 Ví du : 
Cho ABC có : 
b + c = 2a 
Chứng minh : 
2.sin A = sin B + sin C 
 Giải : 
. Có b + c = 2 a 
2R.sin B +2R. sin C = 2.2R. sin A 
sin B +sin C = 2 sin A 
3 – CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH 
 a) Định lý : 
Cho ABC cạnh a ; b ; c ; R bán kính 
 đtròn ngoại tiếp ; r bán kính đtròn 
nội tiếp ; p là nửa chu vi tam giác có : 
 b) Ví du : 
Cho ABC có : 
a = 13 ; b = 14 ; c = 15 
Tính : 
S ; R ; r ? 
 Giải : 
. Tính 
mà 
c 2 = a 2 + b 2 - 2.ab. cos C 
sin 2 C + cos 2 C = 1 
. Có 
. Vậy 
. Tính 
 Có 
. Tính 
 Có 
 = 4ù 
4 – CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN 
 a) Định lý : 
Trong ABC có : 
A 
B 
 C 
 . 
 M 
a 
 b 
 c 
 m a 
b 2 + c 2 = 2.m a 2 + 
m a 2 = 
m b 2 = 
m c 2 = 
Chứng minh : 
b 2 + c 2 = 
(qt3đ) 
(véctơ đối) 
b 2 + c 2 = 2.m a 2 + 
m a 2 = 
 b) Ví du 1: 
Cho 2 điểm A và B cố định . Tìm quỹ tích những 
điểm M thoã điều kiện MA 2 + MB 2 = k 2 ( k là số cho trước) 
 Giải : 
. 
A 
. 
 B 
. Gọi O là trung điểm AB 
. 
 O 
. 
 M 
. M thoã đk MA 2 + MB 2 = k 2 
nên MO là trung tuyến MAB 
 MA 2 + MB 2 = 2.MO 2 + 
.MO 2 = 
. 
.MO = 
 Quỹ tích của M là đường tròn tâm O bán kính MO 
. 
.MO = 0 
 M  O 
 Quỹ tích của M là điểm O 
. 
 Quỹ tích của M là không xác định . 
 . 
 c) Ví du 2: 
Cho 2 điểm A và B cố định . Tìm quỹ tích những 
điểm M thoã điều kiện MA 2 - MB 2 = k ( k là số cho trước) 
 Giải : 
A 
 B 
 O 
M 
. 
. 
. 
. 
. Gọi O là trung điểm AB 
. M điểm tuỳ ý ; H là hình chiếu của M trên AB 
H 
. Tính MA 2 - MB 2 
= 
= 
. Aùp dụng định lý hình chiếu 
. Vậy MA 2 - MB 2 
. Vậy điểm H được xác định 
Quỹ tích điểm M là đường thẳng 
vuông góc với AB tại H với