Bài giảng Toán Lớp 10 - Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

BÀI 5 
 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 
I/ ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 
Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x )= ax 2 + bx + c, trong đó a,b,c là những hệ số ,a ≠ 0 
1.Tam thức bậc hai : 
Ví dụ : cho tam thức bậc hai f(x )= x 2 – 5x + 4 . Tính f(4), f(2), f(1), f(0) và nhận xét về dấu của chúng 
Giải : 
f(4) = 0 ; f(2) = 2 > 0 ; f(1) = 0 ; f(0) = 4 > 0 
Quan sát đồ thị và chỉ ra các khoảng mà đồ thị nằm phía trên , phía dưới trục hoành 
Đồ thị nằm phía trên trục hoành khi x (- ; 1) và (4; + ) 
Đồ thị nằm phía dưới trục hoành khi x (1; 4) 
x 
y 
O 
5/2 
-9/4 
4 
4 
1 
2.Dấu của tam thức bậc hai : 
Cho f(x ) = ax 2 + bx + c (a≠ 0), =b 2 – 4ac 
Nếu < 0 thì f(x ) luôn cùng dấu với hệ số a,  x. 
Nếu = 0 thì f(x ) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = - b/2a. 
 Nếu > 0 thì f(x ) cùng dấu với hệ số a khi x x 2 , trái dấu với hệ số a khi x 1 < x < x 2 trong đó x 1 ,x 2 là hai nghiệm của f(x ) 
Định lí : 
3. Áp dụng 
Xét dấu tam thức f(x ) = - x 2 + 3x – 5 . 
Giải 
= 3 2 – 4.(-1)(-5) = - 11 < 0 
a = - 1 < 0 
 f(x ) < 0 ,x 
Xét dấu tam thức f(x ) = 2x 2 – 5x + 2 . 
Giải 
f(x ) có hai nghiệm x 1 = ½ ; x 2 = 2 
a = 2 > 0 
x 
- ½ 2 + 
f(x ) 
 + 0 _ 0 + 
Hđộng 2 
Xét dấu tam thức f(x ) = 3x 2 + 2x – 5 
Giải : 
f(x ) có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = - 5/3 
Bảng xét dấu 
x 
- - 5/3 1 + 
f(x ) 
 + 0 _ 0 + 
Hđộng 2 
Xét dấu tam thức f(x ) = 9x 2 – 24x + 16 
Giải : 
f(x ) có = 0 
a = 9 > 0 
 f(x ) > 0, x 4/3 
Xét dấu biểu thức 
Nghiệm của 2x 2 – x – 1 là x 1 = 1, x 2 = - ½ 
Nghiệm của x 2 – 4 là x 3 = 2, x 4 = - 2 
Bảng xét dấu 
x 
- -2 -1/2 1 2 + 
2x 2 – x – 1 
 + 
 + 0 - 0 + 
 + 
x 2 – 4 
 + 0 - 
 - 
 - 0 + 
f(x ) 
 + 
 - 0 + 0 - 
 + 
II/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN: 
Giải bpt bậc hai ax 2 + bx + c 0) 
1.Bất phương trình bậc hai : 
ĐN: 
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax 2 + bx + c 0 ,), trong đó a,b,c là những số thực đã cho , a ≠ 0 
2.Giải bất phương trình bậc hai : 
Hđộng 3. Trong các khoảng nào 
f(x ) = - 2x 2 +3x + 5 trái dấu với hệ số của x 2 
a = - 2 < 0 
Nghiệm của f(x ) là – 1 và 5/2 
f(x ) > 0 , x (- 1; 5/2) 
f(x ) = -3x 2 + 7x – 4 cùng dấu với hệ số của x 2 
a = - 3 < 0 
Nghiệm của f(x ) là 1 và 4/3 
f(x ) < 0 , x (- ; 1)  (4/3; + )