Bài giảng Toán hình Lớp 12 - Bài 2: Phương trình mặt phẳng - Trường THPT Quang Trung

PHƯƠNG TRèNH MẶT PHẲNG 
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG 
n 
( A;B ) 
∆ 
Đã học 
Trong hệ tọa độ Oxy 
Đ ịnh lý:Trong hệ tọa độ Oxy,mọi đường thẳng 
đ ều có phương trình dạng: 
Ax +By + C = 0,A 2 + B 2 ≠ 0 
Và ngược lại mọi phương trình 
 Ax +By +C = 0, với A 2 +B 2 ≠ 0 
đ ều là ph trinh một dường thẳng 
Đặt vấn đề 
Vấn đề véc tơ pháp tuyến trong hệ Oxyz 
∆ 
Tại sao đư ờng thẳng trong không 
 gian không thể chọn đư ợc một véc 
 tơ pháp tuyến ? 
P 
n 
( A;B;C ) 
 Mặt phẳng trong không 
 gian có thể chọn đư ợc một véc 
 tơ pháp tuyến ? 
Đường thẳng Ax + By + C =0 cú vectơ phỏp tuyến là ( A;B ) 
n 
∆ 
véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
phương trình tổng quát của mặt phẳng 
1.Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
n 
( A;B;C ) 
n 
( A;B;C ) là véc tơ pháp tuyến của mp (P) 
 
n 
≠ 
0 
n 
 
(P) 
P 
 
A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 
n 
 
(P) 
k n 
Các véc tơ 
k n 
cũng là véc tơ pháp tuyến 
 Nghe - 
 ghi t úm t ắ t : 
Bài t oỏn : 
Trong khụng gian Oxyz cho mp (P) và 2 vectơ khụng cựng phương 
a = (a1, a2, a3), 
b = (b1, b2, b3) 
cú giỏ song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) 
Vectơ 
n 
= (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1) 
được gọi là vectơ phỏp tuyến của mp (P). 
Kớ hiệu : 
n 
= 
b 
a 
^ 
hoặc = [ 
b ] 
a , 
là tớch cú hướng của 2 vectơ 
HĐ1: Trong khụng gian Oxyz cho A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). 
Hóy tớnh vectơ phỏp tuyến của mp(ABC). 
Bài giải 
Vtpt n = [AB;AC] 
AB = ( 2; 1 ; -2) 
AC = ( -12; 6 ; 0) 
Vtpt n = [AB;AC] = (12 ; 24 ; 24) 
Hay n = (1; 2; 2) 
Bài toỏn 1: Trong hệ tọa độ Oxyz 
• 
M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
n 
( A;B;C ) 
P 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
A(x– x 0 ) +B(y– y 0 )+ C (z-z 0 ) = 0 
 Ax + By+ C z - Ax 0 -B y 0 - C z 0 = 0 
• 
M (x ;y;z) 
M (x ;y;z) (P) 
n 
 
M 0 M 
Đ ặt bằng D 
Bài toỏn 2: 
 Ax +B y + Cz + D = 0 (*) 
Chọn M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thỏa (*) 
Có : Ax 0 +B y 0 + Cz 0 + D = 0 (**) 
A(x– x 0 ) +B(y– y 0 )+ C (z-z 0 ) = 0 
=> 
=> 
( A;B;C ) 
n 
 
M 0 M 
Vậy 
n 
 Ax + By+ C z + D = 0 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
M (x ;y;z) 
thỏa mãn pt 
II. Phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng : 
CMR: 
M (x ;y;z) (P) 
Giải 
là vectơ phỏp tuyến của (P) 
Định nghĩa : Phương trỡnh cú dạng Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 +C 2 ≠0, được gọi là phương trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng . *) Nhận xột :a) Nếu mp (P) cú phương trỡnh tổng quỏt là Ax + By + Cz + D = 0 thỡ nú cú 1 vtpt là  b) Phương trỡnh mp đi qua điểm M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) nhận vectơ khỏc vectơ khụng làm vectơ phỏp tuyến là A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0. 
n = ( A; B ; C) 
n = ( A; B ; C) 
HĐ2: Cho mp (P): 4x – 2y – 6z + 7 = 0 Tỡm 1 vtpt của (P)? Giải : 
n = ( 4; -2 ; -6) 
HĐ3: Lập phương trỡnh tổng quỏt của mp(MNP)  với M(1; 1; 1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1) Giải : 
Vtpt n = [MN;MP] 
MN = ( 3; 2 ; 1) 
Vtpt n = [MN;MP] = (-1 ; 4 ; -5) 
 Pt mp (MNP) qua M(1; 1; 1 ) nhận n = (-1 ; 4 ; -5) làm vtcp 
Pt.(ABC) là : -1(x – 1) + 4(y – 1) – 5(z – 1) = 0 
hay - x + 4y - 5z + 2 = 0 
MP = ( 4; 1 ; 0) 
	)  
2. Cỏc trường hợp riờng : 
Trong khụng gian Oxyz cho mp(P): 
Ax + By + Cz +D= 0(1) 
a) Nếu D = 0 (P) đi qua gốc toạ độ O. 
b) Nếu hệ số A bắng 0 
 (P) // Ox hoặc (P) chứa trục Ox 
HĐ4 : Nờu trường hợp nếu B = 0 hoặc C = 0? 
ĐA: B = 0 (P) // Oy hoặc chứa trục Oy  
C = 0 (P) // Oz hoặc chứa trục Oz. 
c) Nếu A = B = 0, C ≠ 0 (P) // hoặc trựng mp(Oxy 
HĐ5: Nếu A = C = 0, B ≠ 0 
 (P) // hoặc trựng mp(Oxz ) 
Nếu B = C = 0, A ≠ 0 
 (P) // hoặc trựng mp(Oyz ) 
*) Nhận xột :  Phương trỡnh mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) là : 
x 
+ 
y 
z 
+ 
a 
b 
c 
= 1 
Vớ dụ : Viết phương trình mặt phẳng 
Bài giải 
Đi qua 3 đ iểm 
A(-1;0;0) , B(0;2;0),C (0;0;-5) 
Ph.trình mp (ABC) : 
10 x -5y + 2z -10 = 0 
x 
+ 
y 
z 
+ 
-1 
2 
-5 
= 1 
n (P) 
n (Q) 
n (P) 
III. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, 
vuụng gúc  
HĐ6 : cho hai mp 
(P): x – 2y + 3z + 1 = 0 
(Q): 2x – 4y + 6z + 1= 0 
Cú nhận xột gỡ về vectơ phỏp tuyến của chỳng ? 
Trả lời : 
= (1; -2; 3) 
= (2; -4; 6) = 2(1; -2; 3) = 2 
Hai mp (P) và (Q) được gọi là hai mp song song. 
n (P) 
n (Q) 
n (P) = (A 1 ; B 1 ; C 1 ) 
n (Q) = (A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
 
n (Q) 
n (P) = k 
D 1 ≠ kD 2 
 
(A 1 ; B 1 ; C 1 ) = k(A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
D 1 ≠ kD 2 
1. Điều kiện để hai mp song song 
Cho 2 mp: 
(P): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 cú vtpt  
(Q): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 cú vtpt 
(P) // (Q) 
 (P) trựng (Q) 	 	 	 
 
n (Q) 
n (P) = k 
D 1 = kD 2 
 
(A 1 ; B 1 ; C 1 ) = k(A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
D 1 = kD 2 
(P) cắt (Q) 
 
n (P) ≠ k 
n (Q) 
(A 1 ; B 1 ; C 1 ) ≠ k(A 2 ; B 2 ; C 2 ) 
 
Trong hệ tọa độ Oxyz 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
1Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
 Ax + By+ Cz -Ax 0 - B y 0 – C z 0 = 0 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Phương trình 
Bài tập 
 Viết phương trình mặt phẳng 
đi qua đ iểm M 0 (3;0 ;-1) và song song 
với mặt phẳng (Q) có phương trình : 
 4x -3y +7z +1 = 0 
Bài giải 
Q 
n 
( 4;-3; 7 ) 
P 
Mặt phẳng ( ) 
Qua M 0 ( 3;0;-1) 
1vtpt ( 4;-3;7) 
=> Phương trình ( ): 
4x – 3y +7z -5 = 0 
2. Diều kiện để hai mp vuụng gúc  (P) vuụng gúc (Q) 
n (Q) = 0 
n (P) . 
 
 
A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0 
Viết pt mặt phẳng (P) thỏa mãn : 
Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) 
 ( Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0 
Vì ( P)  (Q) và (P) qua A, B => hai vectơ khụng cựng phương c ú giỏ 
Bài giải 
AB ( -2;4; -3) 
=> Véc tơ n (P) = [ n (Q) ,AB] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
=> Phương trình (P) là 1(x – 2) + 17(y+3) + 22(z-1) = 0 
(P) Qua A(2;-3;1) 
Vớ dụ : 
n (Q) (3;5;-4) 
song song hoặc nằm trờn (P) là 
Hay x + 17y + 22 z + 27 = 0 
Trắc nghiệm 
Cho mặt phẳng (P) thỏa mãn : 
Đi qua A(2;-3;1) và B ( 0 ; 1 ; -2) 
 ( Q)_có pt: 3x + 5y - 4z + 7 = 0 
Kết luận nào sau đây đ úng ? 
a) Véc tơ u = ( 3 ; 5 ; -4) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
b) Véc tơ v = ( -2 ; 4 ; -3) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
c) Véc tơ n = [ u ,v] = (1; 17 ; 22) là véc tơ pháp tuyến của (P). 
Tóm lại: 
Trong hệ tọa độ Oxyz 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
1Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Phương trình 
 A(x – x 0 ) + B(y – y 0 )+ C(z – z 0 ) = 0 
Ngược lại 
 Từ pt: Ax + By+ C z + D = 0 
Với : A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Chọn đư ợc : M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ) thỏa (*) 
Và một véc tơ pháp tuyến 
n 
( A;B;C ) 
Bài tập 
Bài 1: 
Viết phương trình mặt phẳng trung 
trực của đoạn AB 
Trong hệ toạ độ Oxyz cho 
A( -1; 3; 0),B( 5; -7 ; 4) 
Bài giải 
(P) thỏa mãn 
Qua I ? 
1Vtpt 
n 
=? 
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực AB 
(P) thỏa mãn 
Qua I (2;-2;2) 
1Vtpt 
AB 
(6;-10;4) 
Phương trình (P): 
3x-5y +2z – 20 = 0 
Trong hệ tọa độ Oxyz 
(P) thỏa mãn 
Qua M 0 ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) 
1Vtpt 
n 
( A;B ;C) 
 Ax + By+ Cz -Ax 0 - B y 0 – C z 0 = 0 
A 2 +B 2 +C 2 ≠ 0 
Phương trình 
Tóm lại: 
* Mặt phẳng (P)  (Q) 
*) (P) // (Q) chung vtpt 
Bài tập : 
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q)_ lần 
 lượt có phương trình : 
3x + 2y -5z +4 = 0, x-7y +6z -1 = 0 
Một đ iểm M 0 ( 1;-4;0). 
Viết phương trình mặt phẳng(  ) qua M 0 
và đ ồng thời vuông góc với cả hai mặt 
phẳng (P) và (Q). 
Bài giải : 
Vì ( )  (P) => ( ) có 1 vtcp u (3;2;-5) 
Vì ( )  (Q) => ( ) có 1 vtcp v (1;-7;6) 
[u,v] = (- 23; -7 ; -23) ≠ 0 
Chọn vtpt của ( ) là n (23; 7;23) 
( ) qua M 0 (1;-4 ; 0) 
=> Ph.trình ( ) là 23x +7y +23z +5 = 0 
n (Q) = 0 
n (P) . 
Hình thức thứ nhất : Cho trực tiếp 
n 
( A;B;C ) 
Hình thức thứ hai : cho gián tiếp 
• A(x 1 ;y 1 ;z 1 ) 
• B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) 
n 
= AB  (P) 
P 
TH1: 
Hình thức thứ hai : cho gián tiếp 
u 
v 
u 
v 
// hoặc nằm trên (P) 
// hoặc nằm trên (P) 
n 
= [ u ; v ] 
P 
TH2: 
u và v không cùng phương 
n 
= [ u ; v ] 
Hình thức thứ hai : cho gián tiếp 
P 
Q 
(P) // (Q) 
Ph.trình (Q) :Ax + By + Cz + D 1 = 0 
=> Ph.trình (P) : Ax +By + Cz +D 2 = 0 
n Q 
 = ( A,B,C)  (Q) 
n P 
 = ( A,B,C)  (Q) 
TH3: 
Chú ý: 
n Q 
 = ( A,B,C)  (Q) 
Q 
P 
n Q 
 = ( A,B,C) // (P) 
IV. Khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng  Định lớ :  Trong khụng gian Oxyz cho mp (P) :Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 ). Khoảng cỏch từ M 0 đến mp (P), kớ hiệu d(M 0 , (P))	 
Vớ dụ : Tớnh khoảng cỏch từ gốc toạ độ O đến mp(P): 2x + 2y –z + 3 = 0 Giải : 
Vớ dụ 2 :Tớnh khoảng cỏch giữa hai mp song song(P): x + 2y + 2z + 11 = 0(Q): x + 2y + 2z + 2 = 0 
Giải : Lấy M(0; 0; -1) thuộc (Q) 
HĐ7 : Tớnh khoảng cỏch giữa 2 mp	(P): x – 2 = 0	(Q): x – 8 = 0 
Giải : Lấy M(2, 0, 0) thuộc (P) 
Bài tập về nhà: 
I.Lý thuyết : 
•Nắm vững bài toán cơ bản về 
 viết phương trình mặt phẳng. 
(Phải biết một đ iểm của mặt phẳng 
 và một Vtpt của mặt phẳng) 
•Nắm vững cách xác đ ịnh một véc tơ 
 chỉ phương của mặt phẳng 
•Nắm vững cách xác đ ịnh một véc tơ 
 pháp tuyến của mặt phẳng 
I•Bài tập : 
Từ 1 đ ến 10 trang 81 và 82 ( Sgk ) 
10 
CHÚC CÁC EM HỌC TỐT