Bài giảng Toán đại Lớp 11 - Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với Sinx và Cosx - Trường THPT Quang Trung

BÀI DẠY 
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 
ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 
1/ ĐỊNH NGHĨA : 
 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx 
 là phương trình có dạng 
 a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = d 
 Trong đó x là ẩn số , a,b,c,d là các hệ số 
 Ví dụ : a/ sin 2 x – 3sinx cosx + 2cos 2 x = 0 
 b/ 3cos 2 x + sinx cosx + 2sin 2 x = 2 
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 
ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX 
 Thế nào là phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx ? 
 2/ CÁCH GIẢI 1: 
 Trường hợp 1 : a = d 
 Phương trình có dạng : a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = a (1) 
(1)  a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = a sin 2 x + a cos 2 x 
  b sinx cosx + (c - a) cos 2 x = 0 
  cosx [ bsinx + (c – a)cosx ] = 0 
  cosx = 0 v b sinx + ( c – a ) cosx = 0 
 Đây là 2 phương trình cơ bản đã biết cách giải 
 Ví dụ : 
Giải phương trình : 3 sin 2 x + 5 cos 2 x = sin2x + 3 
Giải 
 Ta có :(1)  3 sin 2 x + 5 cos 2 x = 2 sinxcosx + 3sin 2 x + 3cos 2 x 
  2 cos 2 x – 2sinx cosx = 0 
  2 cosx ( cosx – sinx ) = 0 
  cosx = 0 v cosx – sinx = 0 
  cosx = 0 v tanx = 1 
  x = /2 + k v x = /4 + k 
: 
 Trường hợp 2 : a ≠ d 
 phương trình là : a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = d (2) 
 (2)  a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = d sin 2 x + d cos 2 x 
  ( a – d )sin 2 x + b sinx cosx + ( c – d )cos 2 x = 0 
 Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình , chia 2 vế 
cho cosx ta được : 
 ( a – d )tan 2 x + b tanx + c – d = 0 
 Đây là phương trình bậc 2 theo tanx ta đã biết giải 
 Ví dụ : Giải phương trình : 6sin 2 x – 3sinx cosx + cos 2 x = 2 (2) 
 (2)  6sin 2 x – 3 sinx cosx + cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x 
  4sin 2 x – 3 sinx cosx – cos 2 x = 0 
 Dễ thấy cosx = 0 không là nghiệm phương trình . 
 Chia 2 vế cho cosx ta được : 
 4 tan 2 x – 3 tanx – 1 = 0 
  tanx = 1 v tanx = - 1/4 
  x = π /4 + k π v x = α + k π ( tan α = - 1/4 ) 
 Giải 
PHƯƠNG TRÌNH: 
 a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = d (1) 
CÁCH GIẢI 2 : 
 (1) a( 1 – cos2x )/2 + bsin2x/2 + c( 1 – cos2x )/2 = d 
 bsin2x + ( c – a )cos2x = d – a – c 
 Đây là phương trình bậc 1 của sinx và cosx 
 ta đã biết giải 
 Có cách nào khác để giải không ?