Bài giảng Toán đại Lớp 11 - Chương II, Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Trường THPT Quang Trung

 Bài 1: QUY TẮC ĐẾM 
Trong Đại số tổ hợp , có nhiều tập hợp hữu hạn mà ta không dễ dàng xác định được số phần tử của chúng . Để đếm số phần tử của các tập hợp hữu hạn đó , cũng như để xây dựng các công thức trong Đại số tổ hợp , người ta thường sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân . 
Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được ký hiệu là n (A ). Người ta cũng dùng kí hiệu |A| để chỉ số phần tử của tập hợp A. Chẳng hạn : 
Nếu A={ a,b,c } thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n (A )=3 hay |A|=3. 
Nếu A={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } 
 B={ 2,4,6,8 } ( tập hợp các số chẵn của A), 
Thì A\B={ 1,3,5,7,9 }. 
- Số phần tử của tập hợp A là n (A )=9 
- Số phần tử của tập hợp B là n (B )=4 
- Số phần tử của tập hợp A\B là n (A \B)=5 
I-QUY TẮC CỘNG 
	 Ví dụ 1: Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và ba quả cầu đên được đánh số 7,8,9(h.22). Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy ? 
	 Giải : Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều được đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy ra một quả cầu bất kỳ là một lần chọn . Nếu chọn quả cầu trắng thì có 6 cách chọn , cong nếu chọn quả đen thì có 3 cách . 
	Do đó , số cách chọn một trong các quả cầu là 6+3=9 ( cách ). 
	 QUY TẮC: 
	 Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động . 	 Nếu hành động này có m cách thực hiện , hành động kia có n 	 cách thực hiện không trung với bất kỳ cách nào của hành động 	 thứ nhất thì công việc đó có m+n cách thực hiện . 
I-QUY TẮC CỘNG 
	 Trong Ví dụ 1 , kí hiệu A là tập hợp các quả cầu trắng , B là tập hợp các quả cầu đen . Nêu mối quan hệ giữa số cách chọn một quả cầu và số các phần tử của tập hợp A ,B 
	 Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau , được phát biểu như sau : 
	 Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau , thì 
	 CHÚ Ý 
	 Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động . 
I-QUY TẮC CỘNG 
	 Ví dụ 2: Có bao nhiêu hình vuông trong hình 23? 
	 Giải : Rõ ràng , chỉ có thể có các hình vuông canh 1 cm và 2 cm. Ký hiệu A là tập hợp các hình vuông có cạnh là 1 cm và B là tập hợp các hình vuông có cạnh là 2 cm. 
	 Vì là tập hợp các hình vuông trong Hình 23 và n(A )=10,n(B)=4 nên 
	 Vậy có tất cả 14 hình vuông . 
II-QUY TẮC NHÂN 
	 Ví dụ 3: Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và ba quần kiểu khác nhau . Hỏi Hoàn có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo ? 
	 Giải : hai áo được ghi chữ a và b , ba quần được đánh số 1,2,3. 
	 Để chọn một bộ quần áo , ta phải thực hiện liên tiếp hai hành động : 
	 Hành động 1 -chọn áo . Có hai cách chọn ( chọn a hoặc chọn b ) 
	 Hành động 2 -chọn quần . Ứng với mỗi cacnhs chọn áo có ba cách chọn quần ( chon 1 hoặc 2 hoặc 3). 
	 Kết quả ta có các bộn quần áo như sau : a1,a2,a3,b1,b2,b3 (h.24) 
	 Vậy số cách chọn một bộ quần áo là 2.3=6 ( cách ) 
	 Tổng quát , ta có quy tắc nhân sau đây . 
	 QUY TẮC: 
	 Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp . 
	 Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi 	 cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì ta có m.n 
	 cách hoàn thành công việc . 
II-QUY TẮC NHÂN 
	 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường , từ B đến C cí 4 con đường (h.25). Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C , qua B? 
	CHÚ Ý 
	 Quy tắn nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp 
	 Ví dụ 4: có bao nhiêu số điện thoại gồm : 
	 a)Sáu chữ số bất kì ?	 b)Sáu chữ số lẻ ? 
	 Giải : 
	 a)Vì mỗi số điện thoại là một dãy gồm sáu chữ số nên để lập một số điện thoại , ta cần thực hiện sáu hành động lựa chọn liên tiếp các chữ số đó từ 1- chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. 
	 Có 10 cách chọn chữ số đầu tiên . 
	 Tương tự , có 10 cách chọn chữ số thứ hai ;.. 
	 Có 10 cách chọn chữ số thứ 6 ; 
	 Vậy theo quy tắc nhân , số các số điện thoại gồm 6 chữ số là : 
	 =1000000 ( số ) 
	 b)Tương tự , số các số điện thoại gồm 6 cái chứ số lẻ là 56=150625 ( số ) 
II-QUY TẮC NHÂN 
Bài tập 
	1. Từ các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu gồm : 
	a) Một chữ số ? b) Hai chữ số ? c) Hai chữ số khác nhau ? 
	2. Từ các chữ số 1,2,3,4 có thể lặp được bao nhiêu bé hơn 100.Hỏi : 
 3. Các thành phố A,B,C,D đư ợc nối với nhau bởi các con đường như Hình 26. Hỏi :	 
	a) Có bao biêu cách đi từ A đến D nà qua B và C chỉ một lần ? 
	b) Có bao nhiêu các đi từ A đến D rồi quay lại A? 
	4. Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay ( vuông , tròn , elip ) và bốn kiểu dây ( kim loại , da , vải và nhựa ). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ một mặt một dây ? 
Bài 2 : HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 
I-HOÁN VỊ 
1. Định nghĩa 
	 Ví dụ 1: trong một trận bóng đá , sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thực hiện đá luân lưu 11 m . Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11 m. Hãy nêu ba cách sắp xếp đá phạt . 
	 Giải : Để xác định , ta giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A,B,C,D,E. Để tổ chức đá luân lưu , huấn luyện viên cần phải phân công người đá thứ nhất , thứ hai  và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cầu thủ . Chẳng hạn , nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất , E đá quả thứ hai ., và B đá quả cuối cùng . 
	 Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau : 
	 Cách 1: ABCDE 
	 Cách 2: ACBDE 
	 Cách 3: CABED 
	 Mỗi kết quả của việc sắp xếp thứ tự tên của năm cầu thử đã chọn được gọi là một hoán vị tên của năm cầu thủ . 
I-HOÁN VỊ 
	 ĐỊNH NGHĨA 
	 Cho tập hợp A gồm n phần tử 	 
	 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A 
	 Được gọi là một hoán vị của n phần tử đó . 
	 Hãy liệt kê tất cả các số gồm 3 chữ số khác nhau từ các chứ số 1,2,3 
	NHẬN XÉT 
	 Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp . 
	 Chẳng hạn , hai hoán vị abc và a cb của 3 phần tử a,b,c¸là khác 	 nhau . 
I-HOÁN VỊ 
	 2.Số các hoán vị 
	 Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình , Chi, Dung 	 ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ? 
	 Giải : Để đơn giản , ta viết A,B,C,D thay cho tên của bốn bạn và viết 	ABCD để mô tả cách xếp chỗ như Hình 27. 
	 a)Cách thứ nhất : Liệt kê . 
	 Các cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau : 
	ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB 
	BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA 
	CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA 
	DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA. 
	 Như vậy có 24 cách , mỗi cách cho ta một hoán vị tên của bốn bạn 	 và ngược lại . 
I-HOÁN VỊ 
	 b)Cách thứ hai : Dùng quy tắc nhân 
	- Có bốn cách chộn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất . 
	- Sau khi đã chọn một bạn , còn ba bạn nữa . Có ba cách chọn một bạn xếp vào chỗ thứ hai . 
	- Sau khi chọn hai bạn rồi còn hai bạn nữa . Có hai cách chọn một bạn ngồi vào chỗ thứ ba . 
	- Bạn còn lại được xếp vào chỗ thứ tư . 
	Theo quy tắc nhân , ta có số cách xếp chỗ ngồi là 
	4.3.2.1=24 ( cách ) 
	 Kí hiệu P n là số các hoán vị của n phần tử . Ta có định lý sau đây : 
	 ĐỊNH LÝ 
	 P n = n ( n-1 ).2.1 
I-HOÁN VỊ 
Chứng minh : Để lập được mọi hoán vị của n phần tử , ta tiến hành như sau 
	 Chọn một phần tử cho hoán vị thứ nhất . Có n cách . 
	 Sau khi chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất , có n-1 cách chịn một phần tử cho vị trí thứ hai .. 
	 Sau khi đã chọn n-2 phần tử cho n-2 vị trí đầu tiên , có hai cách chọn một trong hau phần tử còn lại để xếp vào vị trí thứ n-1. 
	 Phần tử còn lại sau cùng được xếp vào vị trí thứ n . 
	 Như vậy , theo quy tắc nhân , có n.(n-1)..2.1 kết quả sắp xếp thứ tự n phần tử đã cho . 
	 Vậy 	 P n = n ( n-1 ).2.1 
	CHÚ Ý 
	 Kí hiệu n(n-1)2.1 là n! ( đọc là n giai thừa ), ta có 
	 P n = n! 
2 
Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng , một tiểu đội học sinh gồm mười người được xếp thành một hàng dọc . Hỏi có bao nhiêu cách xếp ? 
II-CHỈNH HỢP 
1. Định nghĩa 
Ví dụ 3. Một nhóm học tập có năm bạn A,B,C,D,E. Hãy kể ra vài cách phân công ba bạn làm trực nhật : một bạn quét nhà , một bạn lau bảng và một bạn sắp bàn ghế . 
	 Giải . ta có bảng phân công sau đây 
Quét nhà 
Lau bảng 
Sắp bàn ghế 
A 
A 
C 
C 
D 
B 
D 
C 
E 
II-CHỈNH HỢP 
Mỗi cách phân công nêu trong bảng trên cho ta một chỉnh hợp chập 3 của 5. 
Một cách tổng quát , ta có định nghĩa sau đây . 
	 ĐỊNH NGHĨA 
	 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1). 
	 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của 	 tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là 
	 một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho . 
Trên mặt phẳng , cho bốn điểm phân biêt A,B,C,D. Liệt kê tất cả các vectơ 	 khác vectơ không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập hợp điểm đã cho . 
II-CHỈNH HỢP 
2.Số các chỉnh hợp 
	 Trở lại Ví dụ 3, ngoài cách tính số cách phân công trực nhật bằng phương pháp liệt kê , ta còn có một cách khác là sử dụng quy tắc nhân . Để tạo nên mọi cách phân công , ta tiến hành như sau : 
- Chọn một bạn từ 5 bạn để giao việc quét nhà . Có 5 cách . 
- Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi , chọn tiếp một bạn từ 4 bạn còn lại để giao việc lau bảng . Có 4 cách . 
- Khi đã có các bạn quét nhà và lau bảng rồi , chọn một bạn từ 3 bạn còn lại để giao việc sắp bàn ghế . Có 3 cách . 
Theo quy tắc nhân , số cách phân công trực nhật là 
	5.4.3 = 60 ( cách ) 
Nói cách khác , ta có 60 chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn . 
Kí hiệu là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử 
. Ta có định lí sau đây . 
II-CHỈNH HỢP 
ĐỊNH LÍ 
Chứng minh . Để tạo nên mội chỉnh hợp chập k của n phần tử , ta tiến hành như sau : 
Chọn một trong n phần tử đã ho xếp vào vị trí thứ nhất . Có n cách . 
Khi đã có phần tử thứ nhất , chọn tiếp một trong n-1 phần tử còn lại vào vị trí thứ hai . Có 2 cách . 
.. 
Sau khi đã chọn k-1 phần tử rồi , chọn một trong n-(k-1) phần tử còn lại xếp vào vị trí thứ k.Có n-k+1 cách . 
Từ đó theo quy tắc nhân , ta được 
III-TỔ HỢP 
1.Định nghĩa 
Ví dụ 5. Trên mặt phẳng , cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng . Hỏi có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà các đỉnh thuộc tập bốn điểm đã cho ? 
Giải. Mỗi tam giác ứng với một tập con gồm ba điểm từ tập đã cho . Vậy ta có bốn tam giác ABC,ABD,ACD,BCD. 
Một cách tổng quát , ta có định nghĩa sau đây . 
	 ĐỊNH NGHĨA 
	 Giả sử tập A có n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử 
	 của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho . 
	CHÚ Ý 
	 Số k trong định nghĩa cần thõa mãn điều kiện . Tuy vậy , 
	 tập hợp không có phần tử nào là tập hợp rỗng nên ta quy ước 	 gọi hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng . 
Cho tập A ={1,2,3,4,5}Ư. Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 5 của 5 phần tử của A 
III-TỔ HỢP 
2.Số các tổ hợp 
	 Kí hiệu là số các tổ hợp chập k của n phần tử . Ta có định lý sau đây . 
	ĐỊNH LÍ 
Chứng minh . Với k=0, công thức hiển nhiên đúng . 
Với k 1, ta thấy một chỉnh hợp chập k của n phần tử được thành lập như sau : 
- Chọn một tập con k phần tử của tập hợp gồm n phần tử . Có cách chọn . 
- Sắp thứu tự k phần tử chọn được . Có k! cách . 
Vậy theo quy tắc nhân , ta có số các chỉnh hợp châp k của n phần tử là 
Từ đó 	 
III-TỔ HỢP 
Ví dụ 6. Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ . Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người . Hỏi : 
a)Có tất cả bao nhiêu cách lập ? 
b)Có bao nhiêu cách lập đoàn đai biểu , trong đó có 3 nam , 2 nữ ? 
Giải . 
a)Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 ( người ). Vì vậy , số đoàn đại biểu có thể có là 
b)Chọn 3 người từ 6 nam Có cách chọn . 
Chọn 2 người từ 4 nữ . Có cách chọn 
Theo quy tắc nhân , có tất cả cách lập đoàn đại biểu gồm ba nam và hai nữ . 
5 
Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu . Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng 1 lần ? 
III-TỔ HỢP 
3.Tính chất của các số 
Từ định lí về công thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử , ta có các tính chất sau đây . 
Tính chất 1 
Chẳng hạn , 
Tính chất 2 ( công thức Paxcan ) 
Chẳng hạn 
Ví dụ 7. Chứng minh rằng , với , ta có 
Giải . Theo tính chất 2, ta có 
	(1) 
	(2) 
Cộng các vế tương ứng của (1) và (2), theo tính chất 2 , ta có 
BÀI ĐỌC THÊM 
TÍNH SỐ CÁC HOÁN VỊ VÀ SỐ CÁC TỎ HỢP BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI 
Có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tính số các hoán vị n! và số các tổ hợp . 
1.Tính số các hoán vị bằng máy tính bỏ túi 
Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx-500MS để tính n!, ta ấn các phím theo trình tự sau : 
Ấn số n, ấn phím SHIFT , ấn phím x! , ấn phím = Khi đó , kết quả sx hiển thị ở dòng thứ hai . 
Ví dụ 1. Tính 10! 
Ta bấn liên tiếp các phím sau : 
	10 SHIFT x! = 
Dòng thứ hai hiện ra 3,628,800 
Vậy 10! = 3628800 
2.Tính số các tổ hợp bằng máy itnhs bỏ túi 
Dung máy tính bỏ túi CASIO fx-500MS để tính , ta ấn các phím theo trình tự sau 
Ấn số n, ấn phím nCr , ấn số k, ấn phím =. Kết quả hiểm thị ở dòng thứ hai . 
Ví dụ 2. Tính Ta ấn liên tiếp cac phím sau : 
	1 2 nCr 5 = 
Dong thứ hai hiện ra 792 
Vậy =792. 
Bài tập 
1. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau.Hỏi 
 a)Có tất cả bao nhiêu số ? 
 b)Có bao nhiêu số chẵn , bao nhiêu số lẻ ? 
 c)Có bao nhiêu số bé hơn 432000 
2. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy ? 
3. Giả sử có bảy bông hoa màu sắc khac nhay và ba lọ khác nhau . Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa và ba lọ đã cho ( mỗi lọ một bông )? 
4. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đén được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau ? 
5. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau ( mỗi lọ cắm không quá một bông ) nếu : 
 a)Các bông hoa khác nhau ? 
 b)Các bông hoa như nhau ? 
6. Trong mặt phẳng , cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng . Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp điểm đã cho ? 
7. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bống đường thửng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng đó ? 
 NHỊ THỨC NIU-TƠN I-CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN 
	Ta có : 
1 
Khai tiển biểu thức (a+b)4 thành tổng các đơn thức . 
Tổng quát , ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức ( a+b)n thành tổng các đơn thức sau : 
Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-Tơn . 
	HỆ QUẢ 
	 Với a=b=1 , ta có 	 
	 Với a=1; b = -1, ta có 	 
	CHÚ Ý 
	 Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1): 
	 a)Số các hạng tử là n+1 
	 b)Các hạng tử có số mũ cua a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần 	 từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ cảu a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n 	( quy ước a0=b0=1); 
	 c)Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau . 
 NHỊ THỨC NIU-TƠN I-CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIU-TƠN 
Ví dụ 1. Khai triển biểu thức 
Giải . theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có 
Ví dụ 2. Khai triển biểu thức 
Giải . Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có 
Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng với (n 4), ta có 
Giải . Kí hiệu 
Theo hệ quả ta có = A+B 
	 	0 =A-B Từ đó suy ra A=B= 
II-TAM GIÁC PA-XCAN 
Trong công thức nhị thức Niu-tơn ở mục I, cho n=0,1,2, và xếp các hệ số thành dòng , ta nhận được tam giác sau đây , gọi là tam giác Pa- xcan . 
	NHẬN XÉT 
	 Từ công thức 
	 suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó . Chẳng hạn 
2 
Dùng tam giác Pa- xcan chứng tỏ rằng : 
a)1+2+3+4= 
b)1+2++7= 
Bài tập 
1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn : 
 	 	 b) 	 	 c) 
2. Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức : 
3. Biết hệ số của trong khai triển của là 90. Tìm n. 
4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 
5. Từ khai triển biểu thức thành đa thức , hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được . 
6. Chứng minh rằng : 
a) chia hết cho 100; 
b)	 chia hết cho 10000; 
c)	 là một số nguyên . 
BẠN CÓ BIẾT 
PA-XCAN(PASCAL) 
Pa- xcan là nhà toán học , vật lý học và triết học người Pháp . Pa- xcan lúc nhỏ là một cậu bé thần đồng.Cha cậu nhận thấy điều này.Không muốn sớm làm mệt óc con, ông cấm cậu bé Pa- xcan học toán.Song điều này càng kích thích tính tò mò của cậu.Năm 12 tuổi , một hôm cậu hỏi cha “ Hình học là gì ?”. Cha cậu giait thích sơ qua cho cậu hiểu . Pa- xcan rất lấy làm thích thú . Câuh liền bước theo con đường đúng là thiên hướng của mình . Không cần sách vở , một mình cậu tự chứng minh được rằng tổng các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông . Ở tuổi 16, Pa- xcan viết công trình đầu tiên của mình về các thiết diện coonic . 
Pa- xcan viết hàng loạt công trình về các chuỗi số và các hệ số nhị thức . Pa- xcan đã đưa ra bảng các hệ số của sự khai triển của ( a+b)n dưới dạng một tam giác , ngày nay gọi là “tam giác Pa- xcan ”. Pa- xcan đã tìm ra các hệ soosnhij thức bằng phương pháp quy nạp toán học , đó là một trong những phát minh quan trọng của ông . Điều mới mẻ ở đây là Pa- xcan phát hiện ra rằng các hệ số nhị thức chính là các tổ hợp chập k của n phẩn tử và Pa- xcan đã dùng chúng để giải những bài toán của lí thuyết xác suất . 
Một cống hiến lớn nữa của Pa- xcan là việc khởi thảo phép tính các đại lượng vô cùng bé . 
Về mặt kỹ thuật , ngay từ năm 1642, lúc mới 19 tuổi , Pa- xcan đã sáng chế ra một máy tính để thực hiện các phép tính số học . Nguyên tắc của máy này đã là xuất phát điểm cho việc chế tạo máy tính điện tử về sau này . 
Để ghi nhớ công lao của người đầu tiên đã sáng chế ra máy tính , các nhà tin học . 
Về vật lí , Pa- xcan đã nghiên cứu áp suất của khí quyển và các vấn đề thủy tĩnh học . 
Tên của Pa= xcan đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt trăng . 
PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I-PHÉP THỬ , KHÔNG GIAN MẨU 
1.Phép thử 
	 Một trong những khái niệm cở bản của lí thuyết xác suất là phép thử . Một thí nghiệm , một phép đo hay một sự quan sát hiện tượng nào đó , được hiểu là phép thử . 
Chẳng hạn , gieo một đồng tiền kim loại ( gọi tắt là đồng tiền ), rút một quân bài từ cỗ bài tú lơ khơ ( cỗ bài 52 lá ) hay bắn một viên đạn vào bia ,. là những ví dụ về phép thử . 
Khi gieo một đồng tiền , ta không thể đoán trước được mặt ghi số ( mặt ngửa , viết tắt là N) hay mặt kia ( mặt sấp , viết tắt là S) sẽ xuất hiện ( quay lên trên ). Đó là ví dụ về phép thử ngẫu nhiên . 
Một cách tổng quát: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó , mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó . 
Để đơn giản , từ nay phép thử ngẫu nhiên được gọi là phép thử . Trong toán học phổ thông , ta chỉ xét các phép thử có một số hữu hạn kêt quả 
PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ I-PHÉP THỬ , KHÔNG GIAN MẨU 
2.Không gian mẩu 
1 
Hãy liệt kê các kêt quả có thể có của phép thử gieo một con súc sắc 
	 Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẩu của phép thử và ký hiệu là ( đọc là ô-mê-ga ) 
Ví dụ 1. Gieo một đồng tiền (h.28) 
Đó là phép thử với không gian mẩu ={S,N}. Ở đây , S kí hiệu cho kết quả “ Mặt sấp xuất hiện ” và N là kí hiệu cho kết quả “ Mặt ngửa xuất hiện ”. 
Ví dụ 2. Nếu phép thử là gieo một đồng tiền hai lần thì không gian mẩu gồm bốn phần tử 
 ={SS,SN,NS,NN}, trong đó , chẳng hạn , SN là kết quả “ Lần đầu đồng tiền cuất hiện mặt sấp lần thứ hai đồng tiền xuất hiện mặt ngửa ”, 
Ví dụ 3. Nếu phép thử là gieo một con súc sắc hai lần , thì không gian mẩu gồm 36 phần tử : ={( i,j)|i,j =1,2,3,4,5,6}, ở đó ( i,j ) là kết quả “ Lần đầu xuát hiện mặt j chấm , lần sau xuâts hiện mặt j chấm ” (h.29) 
II-BIẾN CỐ 
Ví dụ 4. Gieo một đòng tiền hai lần . Đay là phép thử với không gian mẩu 
 ={SS,SN,NS,NN} 
Ta thấy sự kiện A: “ kết quả cảu hai lần gieo là như nhau ” có thể xảy ra khi phép thử được tiến hành . Nó xảy ra khi và chỉ khi một trong hai kêt quả SS,NN xuất hiện . Như vậy , sự kiện A tương ứng với một và chỉ mộ tập hợp con {SS,NN} của không gian mẩu . Chính vì lẽ đó , ta đồng nhất chúng với nhau và viết A={SS,NN}. Ta gọi A là mooth biến cố . 
Tương tự , biến cố B: “ có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa ” được viết là 
	B={NS,SN,NN} 
Ngược lại , tập con C={SS,SN} là biến cố có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề : “ Mặt sấp xuất hiện trong lần gieo đầu tiên ”. 
- Một cách tổng quát , mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mô tả bởi một tập con của không gian mẩu (h.30). Từ đó có định nghĩa sau đay . 
	 Biến cố là một tập con của không gian mẩu . 
II-BIẾN CỐ 
Như vậy , một biến cố liên quan đến phép thử là một tập hơp bao gồm các kêt quả nào đó của phép thử . 
- Cần chú ý rằng biến cố đôi khi được cho dưới dạng một mệnh đề xác định tập hợp như đã thấy trong Ví dụ 4, hoặc trong phép thử gieo con súc sắc , biến cố A: “Con súc sắc xuất hiện mặt chẵn chấm ” được cho dưới dạng mệnh đề xác định tập con A={2,4,6} của không gian mẩu 
 ={1,2,,6} 
Người ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ cái in hoa A,B,C, 
- Từ nay về sau , khi nói cho các biến cố A,B mà không nói gì thêm thì ta hiểu chúng cùng liên quan đến một phép thử . 
	 Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không ) 
	 Còn tập được gọi là biến cố chắc chắn . 
II-BIẾN CỐ 
Chẳng hạn , khi gieo một con súc sắc , biến ciis : “Con súc sắc xuât shieenj mặt 7 chấm ” là biến cố không , còn biến cố : “Con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không vượt quaas6” là biến cố chắc chắn . 
-Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi kết quả của phép thử đó là một phần tử của A ( hay thuận lợi cho A). 
Như vậy , biến cố không thể ( tức là ) không bao giờ xảy ra ., trong khi đó biến cố chắc chắn luôn luôn xảy ra . 
Trong Ví dụ 4, nếu xuất hiện kết quả SS thì A xảy ra còn B không xảy ra 
Trong khi đó , nếu xuất hiện kết quả SN thì b xảy ra còn A không xảy ra . 
II-PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 
- Giả sử A là một biến cố có liên quan đến một phép thử . 
	 Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là (h.31) 
Do , nên xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra . 
Chẳng hạn , nếu phép thử là gieo con súc sắc thì biến cố B: “ Xuất hiện mặt chẵn chấm ” là biến cố đối của biến cố A: “ Xuất hiện mặt lẻ chấm ” nghĩa là . 
- Giả sử A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử . Ta có định nghĩa sau : 
	 Tập được gọi là hợp của các biến cố A và B 
	 Tập được gọi là giao của các biến cố A và B 
	 Nếu thì ta nói A và B xung khắc . 
Theo định nghĩa , xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra ; 
 xảy ra khi cà chỉ khi A và B đồng thời xay ra , biến cố 
 còn viết là A.B. 
A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra . 
Ta có bảng sau : 
II-PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 
A là biến cố 
Kí hiệu 
Ngôn ngữ biến cố 
A là biến cố không 
A là biến cố chắc chắn 
C là biến cố: “A hoặc B” 
C là biến cố : “A và B” 
A và B xung khắc 
A và B đối nhau 
II-PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ 
Ví dụ 5. Xét phép thử gieo một đồng tiền hai lần với các biến cố : 
	A: “ kết quả của hai lần gieo là như nhau ” 
	B: “ Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp ” 
	C: “ lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp ” 
	D: “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp ” Ta có : 
A={SS,NN} B={SN,NS,SS} 	C={NS} 	D={SS,SN} 
Từ đó 
	 là biến cố “ cả hai đều xuất hiện mặt sấp ” 
Bài tập 
1. Gieo một đồng tiền 3 lần . 
a)Mô tả không gian mẩu 
b)Xác định các biến cố : 
	A: “ lần đầu xuất hiện mặt sấp ” 
	B: “ Mặt sấp xảy ra đúng một lần ” 
	C: “ Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần ”. 
2. Gieo một con súc sắc hai lần . 
a)Mô tả không gian mẩu 
b)Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề : 
	A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 
	B={(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)} 
C={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} 
3. Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1,2,3,4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ . 
a)Mô tả không gian mẩu 
b)Xác định các biến cố sau : 
	A: “ Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn ” 
	B: “ Tích các số trên hai thẻ là số chẵn ” 
Bài tập 
4. Hai xạ thủ cùng bắn vào bia.Kí hiêuh Ak là biến cố : “ Người thứ k bắn trúng ”, k=1,2. 
a)Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1;A2: 
	A: “ Không ai bắn trúng ” 
	B: “ Cả hai đều bắn trúng ” 
	C: “ Có đúng một ngưởi bắn trúng ” 
	D: “ Có ít nhất một người bắn trúng ” 
b)Chứng tỏ rằng ; B và C xung khắc . 
5. Từ một hộp chứa 19 cái thẻ , trong đó các thẻ được đánh số 1,2,3,4,5 màu đỏ , thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7,8,9,10 màu trắng.Lấy ngâu xnhieen một thẻ . 
a)Mô tả không gian mẩu 
b)Kí hiêu A,B,C là các biến cố sau : 
	A: “ Lấy được thẻ màu đỏ ” 
	B: “ Lấy được thẻ màu trắng ” 
	C: “ Lấy được thẻ ghi số chẵn ” 
Hãy biểu diễn các biến cố A,B,C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẩu . 
Bài tập 
6. Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp howacj cả bốn lần ngửa thì ngừng lại . 
a)Mô tả không gian mẩu 
b)Xác định các biến cố 
	A: “ Số lần gieo không vượt quá ba ” 
	B: “ Số lần gieo là bốn ” 
7. Từ một hộp chứa năm quả cầu đươc đánh số 1,2,3,4,5 lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải 
a)Mô tả không gian mẩu 
b)Xác định các biến cố sau : 
	A: “ Chữ số sau lớn hơn chữ số trước ” 
	B: “ Chữ số trước gấp đôi chữ số sau :” 
	C: “ Hai chữ số bằng nhau ”. 
XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ I-ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC XUẤT 
1.Định nghĩa 
	 Một đặc trưng định tính quan trọng của biến cố liên qua đến một phép thử là nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phép thử đó được tiến hành . Một câu hỏi được đặt ra là nó có xảy ra hay không ? Khả năng xảy ra của nó là bao nhiêu ? Như vậy , nảy sinh một vấn đề là cần phải gắn cho biens cố đó một con số hượp lí đẻ đánh giá khả năng xảy ra của nó . Ta gọi số đó là xác xuất của biến cố . 
Ví dụ 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cấn đói và đồng chất . Các kết quả có thể là (h.33) 
Không gian mẩu của phép thử này có sáu phần tử , được mô tả như sau : 
	={1,2,3,4,5,6} 
Do con súc sắc là cân đối , đồng chất và được gieo ngẫu nhiên nên khả năng xuât shieenj từng mặt của con súc sắc là như nhau . Ta nói chúng đồng khả năng xuất hiện . Vậy khả năng xuất hiện của mỗi mặt là 1/6. 
Do đó , nếu A là biến cố : “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ ” (A={1,3,5})thì khả năng xảy ả của A là 
Số này được gọi là xác xuất của biến cố A 
XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ I-ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC XUẤT 
1 
Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chữ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (h.34) lấy ngẫu nhiên 1 quả , kí hiệu : 
A: “ lấy được quả ghi chữ a” 
B: “ Lấy được quả ghi chữ b” 
C: “ Lấy được quả ghi chữ c” 
Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của biến cố A,B và C? Hãy so sánh chúng với nhau . 
Một cách tổng quát ta có định nghĩa sau đây . 
	 ĐỊNH NGHĨA 
	 Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số 
	 Hữu hạn kết quả đồng khả năng cuất hiên . Ta gọi tỉ số 	 Là xác xuất biến cố A, kí hiêuh là P(A) 
XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ I-ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC XUẤT 
CHÚ Ý 
n(A ) là số phần tử của A hay cũng là số các kết quả thuận lợi cho biến cố A, còn là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử 
2.Ví dụ 
Ví dụ 2. Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần . Tính xác xuất của biến cố sau : 
a)A : “ Mặt sấp xuất hiện 2 lần ” 
b)B : “ Mặt sấp xuất hiện đúng một lần ” 
c)C : “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần ” 
Giải . (H.35) không gian mẫu ={SS,SN,NS,NN} gồm bốn kết quả . Vì đồng tiền cân đối , đồng chất và việc gieo là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng xuất hiện . Ta có 
a)A ={ SS},n(A )=1, =4, theo định nghĩa ta có 
	 b)B ={SN,NS}, n(B )=2 , nên 
	 c)C ={ SS,SN,NS},n(C )=3 nên 
XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ I-ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC XUẤT 
Ví dụ 3. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất.Tính xác xuất của các biến cố sau : 
	A: “ Mặt chẵn xuất hiện ” 
	B: “ Xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3” 
	C: “ Xuất hiện mặt có số chấm không bé hơn 3” 
Giải . Không gian mẩu có dạng : ={1,2,3,4,5,6}, gồm sáu kết quả đồng khả năng xuất hiện (h.36). Rõ ràng 
A={2,4,6} , n(A )=3 
B={3,6}	,(B)=2 
C={3,4,5,6},n(C)=4 
Từ đó theo định nghĩa ta có : 
XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ I-ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC XUẤT 
Ví dụ 4. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần . Tính xác xuất của biến cố sau : 
	A: “ Số chấm trong hai lần gieo bằng nhau ” 
	B: “ Tổng số chấm bằng 8” 
Giải . Như đã biết ( xem Ví dụ 3,bài 4), ={( i,j)|i,j =1,2,3,4,5,6},gồm 36 kết quả đồng khả năng xuất hiện . Ta có bảng ( Xem thêm hình 29) 
A={(1,1),(2,2,),(3,3,),(4,4),(5,5),(6,6)}, n(A )=6, =36. Từ đó theo định nghĩa ta có : 
	 Tương tự B={(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)},n(B)=5, =36 
II-TÍNH CHẤT CỦA XÁC XUẤT 
1.Định lí 
	 Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện . Khi đó , ta có định lí sau đây . 
	 ĐỊNH LÍ 
	 a) 
	b) , Với mọi biến cố A. 
	 c)Nếu A và B xung khắc thì 	 ( công thức cộng xác xuất ) 
2 
Chứng minh các tính chất a),b),c ) 
	HỆ QUẢ 
	 Với mọi biến cố A ta có 
Chứng minh . Vì và nên theo công thức cộng xác xuất ta có 
II-TÍNH CHẤT CỦA XÁC XUẤT 
2.Ví dụ . 
Ví dụ 5. Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng , hai quả cầu đen (h.37), lấy ngẫu nhiên đồng thởi hai quả . Hãy tính xác xuất sao cho hai quả đó : 
a)Khác nhau 	 b)Cùng màu 
Giải . Mỗi lần lấy đồng thời hai quả cầu cho ta một tổ hợp chập hai của năm phần tử . Do đó , không gian mẩu gồm các các tổ hợp chập hai của năm phần tử và 
Vì việc lấy quả cầu là ngẫu nhiên nên các kết quả đó đồng khả năng . 
Kí hiệu A: “ Hai quả khác màu ”, B: “ Hai quả cùng màu ”. 
Vì chỉ có hai màu den hoặc trắng nên ta thấy ngay 
a)Theo quy tắc nhân , n(A )=3.2=6 
Do đó 
	 b)Vì nên theo hệ quả ta có : 
II-TÍNH CHẤT CỦA XÁC XUẤT 
Ví dụ 6. Một hộp chứa 20 quả cầu đánh số từ 1 đến 20: Lấy ngẫu nhiên một quả . Tính xác xuất của các biến cố sau : 
a)A : “ Nhận được quả cầu ghi số chẵn ” 
b)B : “ Nhận được quả cầu ghi số chia hêt cho 3” 
c) 
d)C : “ Nhận được quả cầu ghi số không chia hết cho 6” 
Giải .Không gian mẩu được mổ tả là ={1,2,..,20}gồm hai mươi kết quả đồng khả năng , =20. 
a)A ={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}, n(A )=10 nên 
	 b)B ={3,6,9,12,15,18},n(B)=6 
	 Từ đó 
	 c)Vì ={6,12,18}, n( )=3 
	 d)Vì ={6,12,18}, nên là biến cố : “ Nhận được quả cầu ghi số chia hết cho 6”.Do đó , C là biến cố đối của biến cố , ta có và 
III-CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC XUẤT 
Ví dụ 7. Bạn thứ nhất có một đồng tiền , bạn thứ hau có con súc sắc ( đều cân đối , đồng chất ). Xét phép thử “ Bạn thứ nhất gieo đồng tiền , sau đó bạn thứ hai gieo con súc sắc ” (h.38a) 
a)Mô tả không gian mẩu của phép thử này 
b)TÍnh xác xuất xủa biến cố sau 
A: “ Đồng tiền xuất hiện mặt sấp ” 
B: “Con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm ” 
C: “Con súc sắc xuất hiện mặt lẻ ”. 
c)Chứng tỏ 
Giải . a)Không gian mẩu của phép thử có dạng 
 ={S1,S2,S3,S4,S5,S6,N1,N2,N3,N4,N5,N6} 
Theo giả thiết , gồm 12 kết quả đồng khả năng xuất hiện (h.38b) 
b)Ta thấy 	A={S1,S2,S3,S4,S5,S6},n(A)=6 
	B={S6,N6}, n(B )=2 
	C={N1,N2,N5,S1,S3,S5},n(C)=6Từ đó : 
III-CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC XUẤT 
c)Rõ ràng A.B={S6}và 
Ta có 
Tương tự , A.C={S1,S3,S5}; 
Trong ví dụ 7, ta nhận thấy xác xuất hiện mỗi mặt của con súc sắc là không phụ thuộc vào việc đồng tiền xuất hiện mặt “ Sấp ” hoặc “ ngửa ”. 
Nếu sự xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác xuất xyar ra của một biến cố khác thì ta nói hai biến cố đó độc lập.Như vậy , trong Ví dụ 7, các biến cố A và B độc lập và cũng vậy , A và C độc lập . 
Tổng quát , đối cới hai biến cố bất kì ta có mối quan hệ sau 
	A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi 
 BÀI ĐỌC THÊM MỞ RỘNG CÔNG THỨC CỘNG VÀ CÔNG THỨC CỘNG XÁC XUẤT 
Quy tắc cộng được mở rộng đối cói các tập hợp hữu hạn , có giao khác rỗng . Có thể chứng minh được rằng , với hai tâp hợp hữu hạn A và B bất kì , ta có 
	 ( quy tắc bao hàm và loại trừ ) 
Ví dụ 1. Một tổ mười người sẽ được chơi hai môn thể thao là cầu lông và bóng bàn . Có năm bạn đăng kí chơi cầu lông , bốn bạn đăng kí chơi bóng bàn , trong đó có hai bạn đăng kí chơi cả hai môn.Hỏi có bao nhiêu bạn không đăng kí chơi thể thao ? 
Giải . Kí hiệu X là tập hợp các học sinh trong tổ , A là tập hợp các học sinh đăng kí chơi cấu lông , B là tập hợp các học sinh đăng kí chơi bóng bàn (h.39), thế thì n(X )=10,n(A)=5,n(B)=4, . Như vậy : là tập hợp các bạn đăng kí chơi môn thể thao . Vì nên số bạn đăng kí chơi thể thao là 
	 ( bạn ) 
Từ đó , số bạn không đăng kí chơi môn thể thao nào là 
	( bạn ) 
Nhờ quy tắc mở rộng , ta có coogn thức cộng xác xuất mở rộng sau đây : 
	 Với hai biến cố A và B bất kì cùng liên quan đến một phép thử , ta có 
 BÀI ĐỌC THÊM MỞ RỘNG CÔNG THỨC CỘNG VÀ CÔNG THỨC CỘNG XÁC XUẤT 
Ví dụ 2. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần . Tính xác xuất của các biến cố sau : 
A: “ Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm ” 
B: “ Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm ” 
C: “ ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm ” 
D: “ Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm ” 
Giải . ta có ={( i,j )| }, trong đó i là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ nhất , j là số chấm xuất hiện trong lần gieo thứ hai , =36. Như vậy 
	A={6,j)| 	 }, n(A )=6 
	B={(i,6)| 	 }, n(B )=6 
Từ đó theo định nghĩa ta có 
Theo nhận xét ta có 
	Theo hệ quả ta có 
Bài tập 
1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối , đồng chất hai lần . 
a)Hãy mô tả không gian mẫu 
b)Xác định các biến cố sau : 
A: “ Tổng sô chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10” 
B: “ Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần ” 
c)Tính P(A),P(B). 
2. Có bốn tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên ba tám 
a)Hãy mô tả không gian mẫu . 
b)Xác định các biến cố sau : 
A: “ Tổng các số trên ba tấm bìa bằng 8” 
B: “ Các số trên ba tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp ” 
c)Tính P(A),P(B) 
3. Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau . Tính xác xuất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi . 
Bài tập 
4. Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất . Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm . Xết phương trình . Tính xác xuất sao cho : 
a)Phương trình có nghiệm ; 
b)Phương trình vô nghiệm ; 
c)Phương trình có nghiệm nguyên . 
5. Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con.TÍnh xác xuất : 
a)Cả bốn con đều là át 
b)Được ít nhất một con át 
c)Được hai con át và hai con K 
6. Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau . Tính xác xuất sao cho : 
a)Nam , nữ ngồi đối diện nhau 
b)Nữ ngồi đối diện nhau 
7. Có hai hộp chứa các quả cầu . Họp thứ nhất chứa 6 quả trắng , 3 quả đen . Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng,6 quả đen . Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên mộ quả , Kí hiệu : 
A là biến cố : “ Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng ” 
B là biến cố : “ Quả lấy từ hộp thứ hau trắng ”. 
a)Xét xem A và B có độc lập hay không . 
b)Tính xác xuất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu . 
 BÀI ĐỌC THÊM ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ CỦA XÁC XUẤT 
Một đồng tiền cân đối và đồng chất được gieo n lần . Kí hiệu ns là số lần xuất hiện mặt sấp S trong n lần gieo đó . 
	Ta gọi tỉ số là tần suất xuất hiện mặt sấp trong n lần gieo . 
	 Bằng thực nghiệm ta thấy , tần suất thay đôit khi ta thực hiện loạt n lần gieo khác cũng như khi tăng số lần gieo . 
	 Tuy nhiên với n khá lớn , tần suất có tính ổn định , nghĩa là nó dao động xung quanh số ½ và khi n tăng , tần suất ngày càng gấn số ½ 
	Ta có thể hình sung điều đó qua bảng các kết quả gieo đồng tiền của các nhà toán học Buýp-phông ( Buffont ) và Piếc-sơn (Pearson) sau đây : 
 BÀI ĐỌC THÊM ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ CỦA XÁC XUẤT 
Người gieo 
Số lần gieo 
Số lần xuất hiện mặt S 
Tần suất 
Buýp-phông 
4040 
2048 
0.5069 
Piếc-sơn 
12000 
6019 
0.5016 
Piếc-sơn 
24000 
12012 
0.5005 
 BÀI ĐỌC THÊM ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ CỦA XÁC XUẤT 
Số ½ mà tần suất dao động quanh nó được gọi là xác xuất của biến cố A theo quan điểm thống kê . 
Một cách tổng quát : 
	 Kí hiệu nA là số lần xuất hiện biến cố A trong một dãy n phép thử 
	 Được lặp đi lặp lại ( dãy các phép thử lặp ). Tỉ số gọi là tần suất xuất hiện biến cố A 
	 Khi n tăng , ngày càng gần một số P(A) xác định . Người ta gọi 
	 số P(A) đó là xác xuất của biến cố A theo quan điểm thống kê . 
	 Trong trường hợp phép thử chỉ có một số hữu hạn kêt quả đồng khả năng xuất hiện thì số P(A) trong định nghĩa này trùng với số P(A) trong định nghĩa cổ điển của xác xuất . Do đó , định nghĩa thống kê của xác xuất là một sự mở rộng thực sự của định nghĩa cổ điển của xác xuất . 
	 Nhà toán học Thụy Sĩ J.Béc-nu-li (Jacob Bernoulli) là người đầu tiên phát hiện ra tính ổn định thống kê của dãy tần suất . 
Poát-xông (Poisson) là người đầu tiên gọi quy luật ổn địn của tần suất là luật số lớn . 
Ôn tập chương II 
1. Phát biểu quy tắc cộng , cho ví dụ áp dụng 
2. Phát biểu quy tắc nhân , cho ví dụ áp dụng 
3. Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp châp k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử . 
4. Có bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số được tạo thành từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 sao cho : 
a)Các chữ số có thể giống nhau ? 
b)Các chữ số khác nhau ? 
5. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi váo sáu ghế kê theo hàng ngang . Tìm xác xuất sao cho ” 
a)Nam , nữ ngồi xen kẽ nhau 
b)Ba bạn nam ngồi cạnh nhau 
6. Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen , lấy ngẫu nhiên đống thời bốn quả . Tính xác xuất sao cho : 
a)Bốn quả lấy ra cùng màu 
b)Có ít nhất một quả màu trắng . 
Ôn tập chương II 
7. Gieo một con súc sắc ba lần . Tính xác xuất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần . 
8. Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A,B,C,D,E,F vào sáu cái thẻ . Lấy ngẫu nhiên hai thẻ . Tìm xác xuất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là : 
a)Cạnh của lục giác 
b)Đường chéo của lục giác 
c)Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác . 
9.Gieo đồng thời hai con súc sắc . Tính xác xuất sao cho : 
a)Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn 
b)Tích các số chấm trên hai com súc sắc là số lẻ . 
Bài tập trắc nghiệm 
Chọn phương án đúng : 
10. Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là : 
(A)104	(B)1326	(C)450	(D)2652 
11. Năm người được xếp vào ngồi quanh một bàn tròn với năm ghế . Số cách xếp : 
(A)50	(B)100	(C)120	(D)24 
12. Gieo một con súc sắc hai lần . Xác xuất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là : 
(A) 	(B) 	(C) 	(D) 
13. Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai chấm là : 
(A) 	(B) 	 (C) 	(D) 
14. Gieo ba con súc sắc.Xác xuất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là : 
(A) 	(B) 	 	 (C) 	 (D) 
15. Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần . Xác xuất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là : 
(A) 	(B) 	 (C) 	(D) 
BẠN CÓ BiẾT 
BÉC-NU-LI 
Béc-nu-li ( jacob Bernoulli) sinh ngày 27 tháng 2 năm 1654 ở Ba-xlơ ( basle ) Thụy Sĩ . Ông là người đầu tiên trong dòng họ Béc-nu-li có nhiều nhà toán học . Cha ông , Ni-co-la Béc-nu-li (1623-1708) muốn ông trở thành mục sư . Mặc dù phải học Thần học , ông vẫn mê say nghiên cứu Toán học . Một số công trình quan trọng nhất của ông được công bố trong cuốn sách Nghê thuật phỏng đoán hoán vị , tổ hợp , các số Bé-nu-li và lí thuyết xác xuất . Đặc biệt , luật số lớn đối với dãy phép thử Béc-nu-li được công bố trong cuốn sách đó . Cuốn sách của ông được coi là sự mở đầu của lí thuyết xác xuất . Béc-nu-li bắt đầu giảng Triết học tự nhiên , Cơ học ở trường đại học Tổng hợp Ba-xlơ năm 1682 và trở thành Giáo sư toán năm 1687.Ông tiếp tục làm việc ở đó cho đến khi mất ( ngày 10 tháng 8 năm 1705).